查看“︁邦别里-维诺格拉多夫定理”︁的源代码

在數學上，'''邦別里-维诺格拉多夫定理'''（Bombieri-Vinogradov theorem；又稱'''邦別里定理''' (Bombieri's theorem)）是解析數論上的一個主要成果，該成果出於1960年代，與在在一系列模數上取平均值的算術數列中的質數分布相關。

這類結果最早在1961年由馬克·巴爾班（Mark Barban）取得；<ref>{{cite journal |first=M. B. |last=Barban |title=New applications of the 'large sieve' of Yu. V. Linnik |journal=Akad. Nauk. UzSSR Trudy. Inst. Mat. |volume=22 |year=1961 | mr=0171763 |pages=1–20 }}</ref>，而邦別里—维诺格拉多夫定理則是巴爾班結果的細化。邦別里—维诺格拉多夫定理以[[恩里科·邦別里]]<ref>{{cite book |author-link=Enrico Bombieri |first=E. |last=Bombieri |title=Le Grand Crible dans la Théorie Analytique des Nombres |edition=Seconde |series=Astérisque |volume=18 |location=Paris |year=1987 | zbl=0618.10042 | mr=0891718 }}</ref>及{{link-en|阿斯科尔德·维诺格拉多夫|Askold Vinogradov}}的名字命名，<ref>{{cite journal |first=A. I. |last=Vinogradov |title=The density hypothesis for Dirichlet L-series |language=ru |journal=Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. |volume=29 |issue=4 |year=1965 |pages=903–934 |mr=197414 }} Corrigendum. ibid. 30 (1966), pages 719-720. (Russian)</ref>而這兩人在1965年期間出版一些與此相關的密度猜想方面的文章。

該結果是起自1940年代{{link-en|尤里·林尼克|Yuri Linnik}}的研究、並在1960年代前期快速發展的[[大篩法]]的一個主要應用。在邦別里之外，[[克勞斯·羅特]]也研究大篩法相關的問題；而在在1960年代晚期及1970年代早期，{{link-en|帕特里克·X·加拉格尔|Patrick X. Gallagher}}簡化了這證明的許多元素跟估計。<ref>{{cite book | title=Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory | first=Gérald | last=Tenenbaum | series=Graduate Studies in Mathematics | volume=163 | publisher=American Mathematical Society | year=2015 | isbn=9780821898543  | pages=102-104 }}</ref>

==邦別里—维诺格拉多夫定理的陳述==
設<math>x</math>與<math> Q </math>為任意兩個有以下關係的正[[實數]]：
:<math>x^{1/2}\log^{-A}x \leq Q \leq x^{1/2}.</math> 

那麼有
:<math>\sum_{q\leq Q}\max_{y\le x}\max_{1\le a\le q\atop (a,q)=1}\left|\psi(y;q,a)-{y\over\varphi(q)}\right|=O\left(x^{1/2}Q(\log x)^5\right)\!.</math>

其中<math>\varphi(q)</math>是[[欧拉函数]]，且是對q取模的被加數的數量；此外，
:<math>\psi(x;q,a)=\sum_{n\le x\atop n\equiv a\bmod q}\Lambda(n),</math>
其中<math>\Lambda</math>是[[馮·曼戈爾特函數]]。

一個以文字表示的說法是這是一個與對<math> q </math>取模且不大於<math> Q </math>的等差序列上的[[質數定理]]的誤差項有關的定理。對於<math>\sqrt x</math>附近的特定的<math> Q </math>，假若我們忽略對數項，則這平均誤差可小至<math>\sqrt x</math>。這結果並不顯著，且在沒有平均的狀況下與[[廣義黎曼猜想]]差不多強。

==參見==
*{{link-en|埃利奥特—哈伯斯塔姆猜想|Elliott–Halberstam conjecture}}（邦別里—维诺格拉多夫定理的推廣）
*{{link-en|维诺格拉多夫定理|Vinogradov's theorem}}（以[[伊萬·維諾格拉多夫]]為名的定理）

==註解==
{{reflist}}

==外部連結==
*{{MathWorld|urlname=BombierisTheorem|title=Bombieri's Theorem}}
*[http://www.personal.psu.edu/rcv4/Bombieri.pdf ''The Bombieri-Vinogradov Theorem''] {{Wayback|url=http://www.personal.psu.edu/rcv4/Bombieri.pdf |date=20230105120311 }}，出自{{link-en|鲍勃·沃恩|Bob Vaughan}}的講義。

[[Category:篩法]]
[[Category:解析數論定理]]