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{{NoteTA
|G1 = IT
|G2 = Math
}}
'''逻辑矩阵'''（或者'''布尔矩阵'''）是由布尔域'''B''' = {0, 1}组成的[[矩阵]]。这样的矩阵可以用来表示一对[[有限集合]]之间的[[二元关系]]。

== 关系的矩阵表示 ==

如果''R''是有限集合''X''和''Y''之间的一个二元关系（{{nowrap| ''R'' ⊆ ''X''×''Y''}}），那么''R''可以用矩阵''M''来表示，''M''的行索引和列索引由''X''和''Y''两个集合分别给出。''M''的元素定义如下：

:<math>M_{i,j} =
 \begin{cases}
   1 & (i, j) \in R \\
   0 & (i, j) \not\in R
 \end{cases}
 </math>

注意，在以上定义中，假设了矩阵索引可以出自任意有限集合。如果要求索引是来自某集合{{nowrap| {1, 2, ..., ''n''}}}的整数，必须用一个''n''维的有限集合与集合{{nowrap| {1, 2, ..., ''n''}}}的[[双射]]（一一对应）来把原来集合的元素表示成整数。

== 例子 ==

自然数集合{1, 2, 3, 4}的二元关系''整除''由以下自然数对集合组成：
:{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4)}.
相应的布尔矩阵表示为：

:<math>\begin{pmatrix}
   1 & 1 & 1 & 1 \\
   0 & 1 & 0 & 1 \\
   0 & 0 & 1 & 0 \\
   0 & 0 & 0 & 1
 \end{pmatrix}.
 </math>

== 一些性质 ==

表示有限集合上的相等关系矩阵是[[单位矩阵]]，即对角线的元素均为1，其他元素为0。

如果布尔域被看作是半环的，加法对应于[[逻辑或]]，乘法对应于[[逻辑与]]，两个关系的合成的矩阵表示等于表示这些关系的矩阵的[[矩阵乘法]]。

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