查看“︁邁爾定理”︁的源代码

在數論上，'''邁爾定理'''（Maier's theorem）是一個關於短區間內的質數數量的定理。而該定理指出克拉梅爾的[[克拉梅爾猜想|質數機率模型]]給出的猜測是錯的。

該定理指稱若{{mvar|π}}是[[素數計數函數]]，而{{mvar|λ}}是一個大於1的數，那麼下式在{{mvar|x}}趨近於無限時發散：

:<math>\frac{\pi(x+(\log x)^\lambda)-\pi(x)}{(\log x)^{\lambda-1}}</math>

更精確地講，上式的[[上極限和下極限|上極限]]大於1，下極限小於1；而在利用[[波萊爾-坎泰利引理]]的狀況下，克拉梅爾的質數模型則錯誤地預測在<math>\lambda\ge2</math>時該式子的極限是1。

==證明==
{{link-en|赫尔穆特·迈尔 (数学家)|Helmut Maier|赫尔穆特·迈尔}}利用{{link-en|亚历山大·布赫施塔布|Alexander Buchstab}}給出的、計算準質數（對於給定的<math>u</math>，沒有小於<math> z = x^{1/u} </math>的質因數的數組成的集合）數量的公式證明了這點。他在證明中並用了{{link-en|帕特里克·X·加拉格尔|Patrick X. Gallagher}}給出的關於算數數列中質數數量的公式。

{{link-hu|平茨·亚诺什|Pintz János}}給出另一個證明，並證明多數的質數機率模型錯誤地估計[[質數定理]]的一個版本中的[[均方误差]]，該均方误差如下：

:<math>\int_2^Y\left(\sum_{2<p\le x} \log p -\sum_{2<n\le x}1\right)^2\,dx</math>

==參見==
*[[邁爾矩陣法]]

==參考資料==
*{{Citation | last1=Maier | first1=Helmut | author-link1=Helmut Maier | title=Primes in short intervals | url=http://projecteuclid.org/euclid.mmj/1029003189 | doi=10.1307/mmj/1029003189 | mr=783576 | year=1985 | journal=The Michigan Mathematical Journal | issn=0026-2285 | volume=32 | issue=2 | pages=221–225 | zbl=0569.10023 | doi-access=free | accessdate=2024-01-09 | archive-date=2020-08-12 | archive-url=https://web.archive.org/web/20200812011357/https://projecteuclid.org/euclid.mmj/1029003189 | dead-url=no }}
*{{Citation | authorlink=János Pintz | last1=Pintz | first1=János | title=Cramér vs. Cramér. On Cramér's probabilistic model for primes | url=http://projecteuclid.org/euclid.facm/1229619660 | mr=2363833 | year=2007 | journal=Functiones et Approximatio Commentarii Mathematici | volume=37 | pages=361–376 | zbl=1226.11096 | issn=0208-6573 | doi=10.7169/facm/1229619660 | doi-access=free | accessdate=2024-01-09 | archive-date=2020-06-26 | archive-url=https://web.archive.org/web/20200626061241/https://projecteuclid.org/euclid.facm/1229619660 | dead-url=no }}
*{{citation | last=Soundararajan | first=K. | authorlink=Kannan Soundararajan | chapter=The distribution of prime numbers | editor1-last=Granville | editor1-first=Andrew | editor1-link=Andrew Granville | editor2-last=Rudnick | editor2-first=Zeév | title=Equidistribution in number theory, an introduction. Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on equidistribution in number theory, Montréal, Canada, July 11--22, 2005 | location=Dordrecht |publisher=[[Springer-Verlag]] | series=NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry | volume=237 | pages=59–83 | year=2007 | isbn=978-1-4020-5403-7 | zbl=1141.11043 }}

[[Category:解析數論定理]]
[[Category:概率模型]]
[[Category:素數定理]]