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[[File:Path.svg|thumb|'''R'''² 中从 ''A'' 到 ''B'' 一条道路的轨迹；但不同的道路可以有同样的轨迹。]]

在[[数学]]中，[[拓扑空间]] ''X'' 中一条'''道路'''（{{lang|en|path}}）是从[[单位区间]] ''I'' = [0,1] 到 ''X'' 的一个[[连续函数 (拓扑学)|连续函数]] ''f'' 
:''f'' : ''I'' &rarr; ''X''.
道路的起点是 ''f''(0)，终点是 ''f''(1)。通常说从 ''x'' 到 ''y'' 的一条道路，这里 ''x'' 与 ''y'' 是道路的起点与终点。注意，一条道路不仅是 ''X'' 中看起来像一条[[曲线]]的子集，它也包含了[[坐标系|参数化]]。例如，映射 ''f''(''x'') =  ''x'' 与 ''g''(''x'') = ''x''<sup>2</sup> 表示两个[[实数轴]]上从 0 到 1 两条不同的道路。

空间 ''X'' 中以 ''x''&isin; ''X'' 为基点的一条'''[[环路 (拓扑学)|环路]]'''（{{lang|en|loop}}）是从 ''x'' 到 ''x'' 的一条道路。一条环路可以视为连续映射 ''f'' : ''I'' &rarr; ''X''，满足 ''f''(0) = ''f''(1) 或从[[单位圆]] ''S''<sup>1</sup> 到 ''X'' 的连续映射
:''f'' : ''S''<sup>1</sup> &rarr; ''X''.
这是因为 ''S''<sup>1</sup> 可以视为 ''I'' 把 0 &sim; 1 等价起来的[[商空间]]。所有 ''X'' 中的道路集合组成一个空间，称为 ''X'' 的[[环路空间]]。

如果拓扑空间中任何两点之间有一条道路连接，则称之为[[道路连通]]。任何空间可以分成一些[[道路连通分支]]。空间 ''X'' 的道路连通分支集合通常记作 &pi;<sub>0</sub>(''X'')（与高维[[同伦群]]使用相同的记号，但第 0 个事实上不是群。）

我们也可以定义[[带基点的空间]]中的道路与环路，这在[[同伦论]]中非常重要。如果 ''X'' 是以 ''x''<sub>0</sub> 为基点的拓扑空间，则 ''X'' 中的道路以 ''x''<sub>0</sub> 为起点；类似地，''X'' 中环路以 ''x''<sub>0</sub> 为基点。

==道路同伦==
{{main|同伦}}
[[File:Homotopy between two paths.svg|thumb|right|两条道路之间的同伦。]]
道路与环路是[[代数拓扑]]分支中[[同伦论]]的重要研究课题。道路的[[同伦]]就是保持端点不动的道路的连续形变的直观想法的精确化。

明确地说，''X'' 中道路的同伦是一族道路 ''f''<sub>''t''</sub> : ''I'' &rarr; ''X'' 使得
* ''f''<sub>''t''</sub>(0) = ''x''<sub>0</sub> 与 ''f''<sub>''t''</sub>(1) = ''x''<sub>1</sub> 不变。
* 由 ''F''(''s'', ''t'') = ''f''<sub>''t''</sub>(''s'') 定义的映射 ''F'' : ''I'' &times; ''I'' &rarr; ''X'' 是连续的。

由一个同伦连接的道路 ''f''<sub>0</sub> 与 ''f''<sub>1</sub> 称为'''同伦的'''。可以类似地定义保持基点不动的环路的同伦。

同伦的性质定义了[[拓扑空间]]中道路的一个[[等价关系]]。道路 ''f'' 在这个等价关系下的[[等价类]]称为 ''f'' 的'''同伦类'''，通常记作 [''f'']。

==道路复合==
可以将道路以明显的方式复合起来。假设 ''f'' 是从 ''x'' 到 ''y'' 的一条道路，''g'' 是从 ''y'' 到 ''z'' 的一条道路。道路 ''fg'' 定义为首先通过 ''f'' 然后通过 ''g''：
:<math>fg(s) = \begin{cases}f(2s) & 0\leq s \leq \frac{1}{2} \\ g(2s-1) & \frac{1}{2} \leq s \leq 1\end{cases},</math>
显然道路复合只对 ''f'' 的终点与 ''g'' 的起点重合有定义。如果考虑所有以 ''x''<sub>0</sub> 为基点的环路，则道路复合是一个[[二元运算]]。

道路复合，无论是对一般道路还是环路定义，都不是[[结合律|结合的]]，因为有不同的参数化。但是在同伦的层次上是结合的，即  [(''fg'')''h''] = [''f''(''gh'')]。道路复合定义了以 ''x''<sub>0</sub> &isin; ''X'' 为基点的环路的同伦类上的一个[[群|群结构]]，所得的群称为 ''X'' 在以 ''x''<sub>0</sub> 为基点的[[基本群]]，通常记作 &pi;<sub>1</sub>(''X'',''x''<sub>0</sub>)，这个群一般不可[[交换律|交换]]。

==基本群胚==
有一个有时很有用的[[范畴论|范畴]]描述。任何拓扑空间 ''X'' 给出了一个[[范畴 (数学)|范畴]]其对象是 ''X'' 中的点，[[态射]]是道路的同伦类。因为这个范畴中任意态射是[[同构态射]]，故这个范畴是一个[[群胚]]，称为 ''X'' 的[[基本群胚]]。这个范畴中的环路是[[自同态]]（事实上所有都是[[自同构]]）。点  ''x''<sub>0</sub> &isin; ''X'' 的[[自同构群]]恰好是以 ''x'' 为基点的[[基本群]]。基本群的重要定理[[塞弗特－范坎彭定理|塞弗特－范坎彭（Seifert–van Kampen）定理]]在基本群胚的框架下有简明的描述与推广。

==参考资料==
* 尤承业，《基础拓扑学讲义》，北京大学出版社，1997年。
* Peter May, [http://www.math.uchicago.edu/~may/CONCISE/ConciseRevised.pdf ''A Concise Course in Algebraic Topology.''] {{Wayback|url=http://www.math.uchicago.edu/~may/CONCISE/ConciseRevised.pdf |date=20201109041225 }} (1999) University of Chicago Press, ISBN 0-226-51183-9.（2.7 节提供了基本群胚与 Seifert-Van Kampen 定理的范畴论表述。）

[[Category:拓扑学|D]]
[[Category:同伦论|D]]

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