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'''遍历理论'''（{{lang-en|Ergodic theory}}）是研究具有{{le|不变测度|Invariant measure}}的[[动力系统]]及其相关问题的一个[[数学]]分支。
'''遍历理论'''研究遍历变换，由试图证明[[统计物理]]中的{{le|遍历假设|Ergodic hypothesis}}而来。

==遍历变换==
[[概率空间]]上的一个[[保测变换]]''T'' 称为'''遍历'''的，如果在''T'' 下不变的[[可测集]]的[[测度]]必为0或1。这个性质的一个旧术语是''度量推移''的。

==遍历的定义==
考虑[[适定]]的函数''f''的时间平均。这定义为从某个初始点''x''开始的时间间隔''T''的取值的平均。

:<math> \hat f(x) = \lim_{n\rightarrow\infty}\;
   \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(T^k x\right) </math>

再考虑''f''的空间平均和相位平均，定义为
:<math> \bar f = \int f\,d\mu </math>
其中&mu;是概率空间的[[测度]]。

一般来说，时间平均和空间平均可能不同。
但是若变换是遍历的，而该测度不变，则时间均值和空间均值几乎处处相等。这就是著名的遍历定理，其抽象形式由[[乔治·戴维·伯克霍夫]]给出。[[平均分布定理]]是遍历定理的一个特殊情况，专门处理单位间隔上的概率分布。

==参看==
*[[始态复现定理]]

== 历史参考 ==
* [[George David Birkhoff|G. D. Birkhoff]], ''Proof of the ergodic theorem'', (1931), Proceedings of the National Academy of Sciences USA, '''17''' pp 656-660.
* E. Hopf, ''Statistik der geodätischen Linien in Mannigfaltigkeiten negativer Krümmung'', (1939) Leipzig Ber. Verhandl. Sächs. Akad. Wiss. '''91''', p.261-304.
* [[Sergei Fomin|S. V. Fomin]] and [[Israel Gelfand|I. M. Gelfand]], ''Geodesic flows on manifolds of constant negative curvature'', (1952) Uspehi Mat. Nauk '''7''' no. 1. p. 118-137.
* F. I. Mautner, ''Geodesic flows on symmetric Riemann spaces'', (1957) Ann. of Math. '''65''' p. 416-431.
* C. C. Moore, ''Ergodicity of flows on homogeneous spaces'', (1966) Amer. J. Math. '''88''', p.154-178.

== 现代参考 ==

* [[Vladimir Igorevich Arnol'd]] and André Avez, ''Ergodic Problems of Classical Mechanics''. New York: W.A. Benjamin. 1968. 
* Leo Breiman, ''Probability''. Original edition published by Addison-Wesley, 1968; reprinted by Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992. ISBN 978-0-89871-296-4. ''(See Chapter 6.)''
* Peter Walters, ''An introduction to ergodic theory'', Springer, New York, 1982, ISBN 978-0-387-95152-2.
* {{cite book | author=Tim Bedford, Michael Keane and Caroline Series, ''eds.'' | title= Ergodic theory, symbolic dynamics and hyperbolic spaces | publisher= Oxford University Press | year= 1991 | id= ISBN 978-0-19-853390-0 }} ''(A survey of topics in ergodic theory; with exercises.)''
* Joseph M. Rosenblatt and Máté Weirdl, ''Pointwise ergodic theorems via harmonic analysis'', (1993) appearing in ''Ergodic Theory and its Connections with Harmonic Analysis, Proceedings of the 1993 Alexandria Conference'', (1995) Karl E. Petersen and Ibrahim A. Salama, ''eds.'', Cambridge University Press, Cambridge, ISBN 978-0-521-45999-0. ''(An extensive survey of the ergodic properties of generalizations of the [[equidistribution theorem]] of [[shift map]]s on the [[unit interval]]. Focuses on methods developed by Bourgain.)''

== 相關書籍 ==
* 『エルゴード理論とフラクタル』 釜江哲郎・高橋智 共著 (1993, シュプリンガー･フェアラーク東京, ISBN 4-431-70645-3)
* Probability : Theory and Examples (Richard Durrett, Thomson, ISBN 0-534-42441-4)
* Peter Walters, An Introduction to Ergodic Theory

{{Authority control}}
[[Category:统计学]]
[[Category:概率论]]
[[Category:遍歷理論|*]]

[[pl:Hipoteza ergodyczna]]