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在[[動力系統]]及[[遍歷理論]]等[[數學]]的分支裡，'''游离集'''（又称'''游荡集'''）此一概念公式化了此系統中運動和[[混合 (數學)|混合]]的某些概念。當一個動力系統存在一非零測度的游离集時，即代表此系統為一[[耗散結構]]。這和使用[[龐加萊復現定理|始態復現定理]]概念的[[保守系統]]極為不同。直覺上，遊离集和耗散結構之間的關係是很容易了解的：若一部份[[相空間]]在此系統正常的時間演化下會「遊蕩開來」，且不再接近，則此系統即是耗散的。使用游离集的語言可以使耗散結構的概念有一個精確、數學的定義。

==遊离點==
遊离集的一普通且離散時間的定義開始於一[[拓撲空間]]''X''本身的映射<math>f:X\to X</math>。''X''內的''x''被稱為'''遊离點'''若存在一''x''的[[鄰域]]''U''及一正整數''N''使得對所有的<math>n>N</math>，其和其[[疊代函數]]都不會相交：

:<math>f^n(U) \cap U = \varnothing.\,</math>

另有一個較方便的定義，只需要其交集為零測度即可。更精確地說，此一定義需要''X''為一[[測度空間]]，即部份的[[多元組|三元組]]<math>(X,\Sigma,\mu)</math>，其中<math>\Sigma</math>為[[博雷爾代数|博雷爾集合]]，測度<math>\mu</math>會使得

:<math>\mu\left(f^n(U) \cap U \right) = 0,\,</math>

類似地，一連續時間的系統有一映射<math>\varphi_t:X\to X</math>，其定義了此系統的時間演化或稱為此系統的[[流量 (數學)|流量]]，其中時間演化算符<math>\varphi</math>為一於''X''上的一元連續[[阿貝爾群]][[群作用|作用]]：

:<math>\varphi_{t+s} = \varphi_t \circ \varphi_s.\,</math>

在此情況下，一個於''X''內的遊蕩點''x''會有一個''x''的[[鄰域]]''U''及一時間''T''，使得對所有時間<math>t>T</math>，其時間演化映射為零測度：

:<math>\mu\left(\varphi_t(U) \cap U \right) = 0.\,</math>

此一較簡單的定義可以完全地被廣義化至一般的[[群]][[群作用|作用]]上。設<math>\Omega=(X,\Sigma,\mu)</math>為一[[測度空間]]，即一具有定義於其[[博雷爾代数|博雷爾集合]]上之[[測度]]的[[集合 (数学)|集合]]。再設&Gamma;為[[群作用|作用]]在此集合上的[[群]]。給定一於&Omega;內的點''x''，此集合

:<math>\{\gamma \cdot x : \gamma \in \Gamma\}</math>

稱做點''x''的[[軌跡]]或[[軌道 (群論)|軌道]]。

於&Omega;內的一元素''x''被稱為一'''遊离點'''，若存在一''x''的[[鄰域]]''U''及&Gamma;單位元的[[鄰域]]''V''，使得對所有的<math>\gamma \in \Gamma-V</math>
:<math>\mu\left(\gamma \cdot U \cap U\right)=0</math>

==非遊离點==
'''非遊离點'''的定義在感覺上剛好相反。在離散的例子裡，<math>x\in X</math>為非遊离點，若對每一包含''x''的開集合''U''，都可以找到在一些<math>n\ge 1</math>中，
:<math>\mu\left(f^n(U)\cap U \right) > 0\,</math>

相類的定義也可以被使用在連續時間及離散與連續群作用裡。

==遊离集和耗散系統==
遊离集是遊离點的聚合。更精確地說，&Omega;的子集''W''為一在一離散群&Gamma;的群作用下的'''遊离集'''，若''W''為可測度的且對任一<math>\gamma \in \Gamma - \{e\}</math>，交集

:<math>\gamma W \cap W\,</math>

為一零測度的集點。

遊离集的概念在感覺上是和[[龐加萊復現定理|始態復現定理]]內所表示出來的概念互為正反。若存在一正測度的遊离集，&Gamma;的群作用便被稱為'''耗散的'''，且此一[[動力系統]]<math>(\Omega, \Gamma)</math>則被稱為[[耗散結構]]。若不存在如此的遊离集，此一群作用則被稱為'''保守的'''，且此一系統稱為[[保守系統]]。例如，任何遵守始態復現定理的系統在定義上不可能存在正測度的遊离集；且因此為保守系統的例子。

一遊离集''W''軌跡的定義為

:<math>W^* = \cup_{\gamma \in \Gamma} \;\; \gamma W.</math> 

&Gamma;的作用稱為'''完全耗散'''的，若存在一正測度的遊离集''W''，使得軌道<math>W^*</math>[[幾乎處處]]相等於&Omega;，即若

:<math>\Omega - W^*\,</math>

為一零測度的集合。

==參考文獻==
* {{cite book |first=Peter J. |last=Nicholls |title=The Ergodic Theory of Discrete Groups |url=https://archive.org/details/ergodictheoryofd0000nich |url-access=registration |year=1989 |publisher=Cambridge University Press |location=Cambridge |isbn=0-521-37674-2 }}
* Alexandre I. Danilenko and Cesar E. Silva (8 April 2009). ''[https://web.williams.edu/Mathematics/csilva/NonsingularET_Apr.pdf Ergodic theory: Nonsingular transformations] {{Wayback|url=https://web.williams.edu/Mathematics/csilva/NonsingularET_Apr.pdf |date=20201023055402 }}''; See [https://arxiv.org/abs/0803.2424 Arxiv arXiv:0803.2424] {{Wayback|url=https://arxiv.org/abs/0803.2424 |date=20220502170322 }}.
* {{citation|last=Krengel|first=Ulrich|title=Ergodic theorems|series=De Gruyter Studies in Mathematics|volume=6|publisher=de Gruyter|year= 1985|isbn=3-11-008478-3 }}
 
[[Category:遍历理论]]