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在[[數學]]裡，尤其是在[[拓撲學]]裡，'''連通和'''的運算是指一於[[流形]]上的幾何改變。其效果為將兩個給定的流形於各個選定的點附近連接起來。此一建構在[[曲面|閉曲面分類]]上有著關鍵性的角色。

更一般地，也可以將流形和其子流形連接起來；此一廣義化通常稱為'''纖維和'''。另外還有在[[結]]上之連通和的一相關概念，其稱為'''結和'''或結的'''複合'''。

==於一點上的連通和==

兩個''m''維[[流形]]的'''連通和'''為一流形，其將兩個流形各挖去一個[[球 (數學)|球]]，再將[[球面]]邊界[[黏着空间|黏在一起]]。

若兩個流形是[[可定向|可定向的]]，由逆转定向黏合映射定义的连通和是惟一的。即使這建構使用到的球的選擇，但最後結果都會於[[同胚]]下統一。亦可以將此運算作用於[[光滑函數|光滑]][[範疇 (數學)|範疇]]上，而其結果也會於[[微分同胚]]下統一。

連通和的運算標記為<math>\#</math>；例如，<math>A \# B</math>即表示為''A''和''B''的連通和。

連通和的運算中有一球面<math>S^m</math>為[[單位元]]；亦即，<math>M \# S^m</math>會同胚(或微分同構)於''M''。

閉球面的分類，在拓撲學上的一基本及重大結果，其描述为：任一閉曲面均可表示成''g''个[[環面]]和''k''個[[實射影平面]]的連通和。

== 沿着一个子空间的连通和 ==
設<math>M_1</math>和<math>M_2</math>為兩個光滑、可定向且相同維度的流形，及''V''為一光滑、封閉且可定向的流形，可內嵌成<math>M_1</math>和<math>M_2</math>的子流形。此外，再假設其存在一[[法叢]]的同構

:<math>\psi: N_{M_1} V \to N_{M_2} V</math>

其將每一纖維的定向顛倒。然後，<math>\psi</math>便可導出一定向保留的微分同構

:<math>N_1 \setminus V \cong N_{M_1} V \setminus V \to N_{M_2} V \setminus V \to N_{M_2} V \setminus V \cong N_2 \setminus V,</math>

其中，每一法叢<math>N_{M_i} V</math>都會微分同構地和於<math>M_i</math>內''V''的鄰域<math>N_i</math>一致，且映射

:<math>N_{M_2} V \setminus V \to N_{M_2} V \setminus V</math>

==相關條目==
*{{le|Band sum}}
*{{le|Prime decomposition of 3-manifolds}}
*{{le|Manifold decomposition}}

==參考文獻==

* Robert Gompf: A new construction of symplectic manifolds, ''Annals of Mathematics'' 142 (1995), 527-595
* William S. Massey, ''A Basic Course in Algebraic Topology'', Springer-Verlag, 1991. ISBN 0-387-97430-X.

{{纽结理论}}
[[Category:微分拓扑学|L]]
[[Category:二元運算|L]]