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在[[拓撲學]]和[[數學]]的相關領域裡，'''連續函數'''是指在[[拓撲空間]]之間的一種[[態射]]。直觀上來說，其為一個函數<math>f</math>，其中每一群在<math>f(x)</math>附近的點都會含有在<math>x</math>附近的一群點之[[值域|值]]。對一個一般的拓撲空間來說，這是指''<math>f(x)</math>''的[[鄰域]]總會包含著''<math>x</math>''之鄰域的值。

在一個[[度量空間]]（如[[實數]]）裡，這是指在''<math>f(x)</math>''一定距離內的點總會包含著在''<math>x</math>''某些距離內的所有點。

==定義==
因為有若干個[[拓撲空間範疇的特性描述|對拓撲結構的等價定義]]存在，所以亦存在若干種定義連續函數的方法。

===開集與閉集定義===

拓撲中最常見的連續概念之定義為將其定義為一個其[[開集]]之[[值域|前像]]亦為[[開集]]的函數。類似開集的公式化，亦有一'''閉集公式化'''，其將連續函數定義為其[[閉集]]之[[值域|前像]]亦為[[閉集]]的函數。

===鄰域定義===
以前像為基底之定義時常很難直接地被使用。替代地，設有一由<math>X</math>至<math>Y</math>的函數<math>f</math>，其中的''<math>X</math>''和''<math>Y</math>''都是拓撲空間。則''f''會被稱為是'''在'''<math>x</math>'''為連續的'''，其中''<math>x</math>''為''<math>X</math>''的元素，若對於任一''<math>f(x)</math>''的[[鄰域]]<math>V</math>，都存在一個能使<math>f(U) \subseteq V</math>之''<math>x</math>''的鄰域<math>U</math>。雖然此一定義看起來很複雜，其在直覺上是指不論''<math>V</math>''變得多「小」，總會可以找到一個包含可映射至''<math>V</math>''內之''<math>x</math>''的''<math>U</math>''。若''<math>f</math>''在''<math>X</math>''內的每一個元素''<math>x</math>''都會連續，則簡稱''<math>f</math>''是連續的。

<center>[[File:continuity_topology.svg|300px|一函數在一點的連續性]]</center>

在一[[度量空間]]內，則其會等價於將所有鄰域替換成考量以''<math>x</math>''和''<math>f(x)</math>''為中心之[[球 (數學)|開球]]的[[邻域系统]]。這會導致在實分析中對[[連續函數]]的標準定義，其敘述著一個函數若為連續時，則其靠近''<math>x</math>''的所有點都會映射至靠近''<math>f(x)</math>''的點上。這只在度量空間中有意義，因為只有在度量空間中有距離的概念。

===數列和網===
在一些文章中，空間的拓撲會被簡便地以[[極限點]]來描述。

{{点集拓扑}}

[[Category:拓扑学|L]]
[[Category:连续映射|L]]