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{{noteTA|T=zh-hans:有心力; zh-hant:連心力;|G1=物理學}}
在[[物理學]]裏，[[作用力]]可以分類為'''連心力'''（central force）與'''非連心力'''。連心力的方向永遠指向一個固定點；稱此點為'''力中心點'''。許多宇宙最基本的力，像[[萬有引力]]、[[靜電學|靜電力]]，都是連心力。而[[勞侖茲力]]的[[磁力]]部分則乃非連心力<ref name="Herb1980">{{cite book en|last=Goldstein|first=Herbert|title=Classical Mechanics|year=1980| location=United States of America | publisher=Addison Wesley| edition= 3rd| isbn=0201657023 | pages=pp. 7}}</ref>。連心力以方程式表達為
:<math>\mathbf{F}=F\hat{\mathbf{r}}</math>；

其中，<math>\mathbf{F}</math>是連心力，<math>\mathbf{r}</math>是從力中心點到檢驗位置的徑向向量。

連心力可以進一步細分為兩種版本：強版本和弱版本。強版連心力要求連心力跟徑向距離有關：
:<math>\mathbf{F}=F(r)\hat{\mathbf{r}}</math>。

弱版連心力沒有這嚴厲的條件。在物理學裏，大多數重要的連心力都是強版連心力；[[單擺|簡單擺]]的繩索作用於擺錘的[[拉力]]是一種弱版連心力，這拉力的方向是徑向方向，但對於小角度擺動，拉力的大小可以近似為一個常量，是擺錘感受到的[[重力]]大小。
==角動量恆定==
假設一個粒子，感受到連心力<math>\mathbf{F}</math>的作用，則施加於此粒子的[[力矩]]<math>\boldsymbol{\tau}</math>為零：
:<math>\boldsymbol{\tau}=\mathbf{r}\times\mathbf{F}=\mathbf{r}\times F\hat{\mathbf{r}}=0</math>。

[[角動量]]<math>\mathbf{L}</math>對於時間<math>t</math>的[[導數]]是力矩：
:<math>\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\boldsymbol{\tau}</math>。

所以，角動量守恆，是個常數。

==平面運動==
關於此粒子的運動，
:<math>\mathbf{r}\cdot\mathbf{L}=\mathbf{r}\cdot(\mathbf{r}\times(m\mathbf{v}))=0</math>。

此粒子的位置向量<math>\mathbf{r}</math>垂直於恆定的角動量<math>\mathbf{L}</math>，所以，此粒子的運動必局限於垂直於角動量的平面。

==平面速度恆定==
採用[[極坐標系]]<math>(r,\theta)</math>來表示此粒子的平面運動，[[原點]]為力中心點。則角動量為
:<math>L=mr^2\dot{\theta}</math>；

這裏，<math>m</math>是粒子的質量、<math>\dot{\theta}</math>是角速度。

粒子與力中心點的連線，掃過的平面的平面速度<math>\frac{dA}{dt}</math>為
:<math>\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}r^2\dot{\theta}=\frac{L}{2m}</math>。

所以，受連心力作用的粒子與力中心點的連線，掃過的平面，速度恆定。

==連心勢==
{{main|保守力}}
假若連心力<math>\mathbf{F}</math>是一個函數<math>V(\mathbf{r})</math>的負[[梯度]]：
:<math>\mathbf{F}= - \nabla V(\mathbf{r})</math>，

則連心力是[[保守力]]：
*連心力的[[旋度]]是0：
:<math>\nabla\times\mathbf{F}= - \nabla\times\nabla V=0</math>，

*對於任何簡單的閉合迴路，連心力所做的[[機械功]]<math>W</math>是0：
:<math>W = \oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}= 0</math>。

此函數<math>V</math>是一個[[純量勢]]，注意到由於<math>\mathbf{F}=F\hat{\mathbf{r}}</math>，純量勢<math>V</math>只能跟<math>r</math>有關：
:<math>\mathbf{F}= - \frac{\partial V}{\partial r}\ \hat{\mathbf{r}}</math>。

稱<math>V(r)</math>為'''連心勢'''。連心力也只能跟<math>r</math>有關：
:<math>\mathbf{F}=F(r)\hat{\mathbf{r}}</math>。

這連心力是強版連心力。

== 有效勢能 ==
一个運動於勢能<math>V(r)</math>的粒子的[[拉格朗日量]]等於動能减去勢能：
:<math>\mathcal{L}(r,\theta) = \frac{m}{2}\left(\dot{r}^2+ r^2\dot{\theta}^2\right) - V(r)</math>。

其[[拉格朗日方程式]]為
:<math>m\ddot{r}-mr\dot{\theta}^2 - F(r)=0</math>、
:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(mr^2\dot{\theta})=0</math>；

其中，<math>F(r)= -\ \frac{\partial V(r)}{\partial r}</math>為連心力。

由於連心勢與角坐標<math>\theta</math>無關，因此其[[共軛動量]]（[[角動量]]）是個運動常數：
:<math>P_{\theta}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\theta} = m r^2 \dot{\theta}</math>。

為了善用此運動常數，應用[[勒让德变换]]轉到[[相空間]]得到[[哈密顿量]]和運動方程式：
:<math>\dot{p}_{r} = - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r} \left[ \frac{P_{\theta}^2}{2 m r^2} + V(r)\right]</math>。

因此，可得到粒子的徑向運動等同於一個在以下'''有效勢能'''中的一維運動：
:<math>V_{\rm Eff}(r) = \frac{P_{\theta}^2}{2m} \frac{1}{r^2} + V(r)</math>。

星体在<math>\frac{1}{r^2}</math>萬有引力下運動的有效勢能是：
:<math>V_{\rm Eff}(r) = \frac{P_{\theta}^2}{2m} \frac{1}{r^2} - \frac{K}{r}</math>。

因此可以看到，有效勢能所造成的作用力，在短距离因為角動量守恆項目而排斥，在遠距离因為萬有引力項目而吸引。两者平衡點－即有效勢能最低點－正是圓形軌道半徑。

== 有心运动的轨迹的确定 ==
有心力的运动轨道可以用比内（{{lang|en|Binet}}）公式来计算。在平面[[极坐标系]]中，如果令：
:<math>u = \frac{1}{r}, h = \frac{L_0}{m}</math>
其中<math>L_0</math>为物体做有心运动时的角动量，则有：
:<math> -mh^2 u^2(\frac{d^2 u}{d\theta^2}+u) = F(u)</math>
解这个微分方程<ref>这是个二阶常系数非齐次线性方程。</ref>可以得到运动轨迹的半径与角度的关系<ref>{{cite book|title=理论力学简明教程|author=陈世民|publisher=高等教育出版社|isbn=978-7-04-023918-8|pages=49页}}</ref>：
:<math>r = \frac{1}{u(\theta)} = r(\theta)</math>
=== 平方反比类有心力的运动轨迹方程 ===
将大小与到力心位置距离成平方反比的有心力表示为：<math>F(r) = \frac {k}{r^2}</math>，将它代入上述的方程，得到：
:<math>-mh^2 u^2 (\frac {d^2 u}{d \theta ^2} + u) = \frac {k}{r^2}</math>
通过移项整理，可以得到一个二阶常系数线性非齐次方程：
:<math>\frac {d^2 u}{d \theta ^2} + mf(u) = 0</math>
的式子，其中<math>m</math>为移项整理后关于<math>f(u)</math>这个多项式的外层系数。通过类比弹簧振子简谐运动方程的求解方法<ref>弹簧振子简谐振动的运动微分方程<math>\frac {d^2 r}{d t^2} + \frac {kx}{m} = 0</math>有通解为：<math>r = A \cos (\omega t) \!</math>，其中<math>A</math>为积分常数，可以通过初始条件确定；<math>\omega = \sqrt{\frac {k}{m}}</math>，为简谐振的角速度。</ref>，可以类似地解得上述方程的通解：
:<math>r = \frac {1}{u} = \frac {\frac {mh^2}{k^2}}{1 + \frac {mh^2}{k^2} \cos (\theta-\theta_0)}</math>
可以看出，其运动轨迹为圆锥曲线中的一种。

=== 任意幂次有心力的情况 ===
物体在有心力作用下的运动情况常常涉及复杂的二阶线性非齐次方程，表现为非线性动力学问题<ref>{{cite book|title=理论力学简明教程|author=陈世民|publisher=高等教育出版社|isbn=978-7-04-023918-8|pages=63页}}</ref>。作为特殊情况，当有心力可以表示为反比或者平方反比时，通常可以像以上算法来简化微分方程的求解，这也给天文学家分析问题带来了很大的方便<ref>万有引力即是典型的平方反比类型的力。</ref>。但是其他幂次的情况则复杂得多。

==參閱==
*[[克卜勒問題]]
*[[伯特蘭定理]]
*[[三體問題]]

== 注释和参考文献 ==
{{reflist}}

{{DEFAULTSORT:L}}
[[Category:經典力學]]
[[Category:力]]