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'''速降函数空间'''（Schwartz space）是[[数学]]中一类[[函数]]的总称，也称为'''施瓦茨空间'''，指的是当X值趋向于无穷大时，函数值f(X)趋近'''0'''的速度“足够快”的函数。速降函数空间的一个重要性质是[[傅里叶变换]]对于这个空间是一个[[自同构]]，也就是说，速降函数进行傅里叶变换之后仍然会是速降函数。这个性质使得可以对<math>\mathcal{S}</math>的[[对偶空间]]中的元素，也就是[[缓增广义函数]]，来定义其傅里叶变换。速降函数空间的别称“施瓦茨空间”得名于[[法国]][[数学家]][[洛朗·施瓦茨]]，速降函数空间里的函数也被称为施瓦茨函数。

[[Image:Gaussian 2d.png|right|thumb|250px|二维的[[高斯函数]]是速降函数的一个例子。]]

==定义==
欧几里得空间'''R'''<sup>n</sup> 上的速降函数空间<math>\mathcal{S}</math>是满足以下条件的函数的集合：

:<math> \mathcal{S} \left(\mathbb{R}^n\right) = \{ f \in C^\infty(\mathbb{R}^n) \mid  \|f\|_{\alpha,\beta} < \infty\, \forall \, \alpha, \beta \}, </math>

其中 &alpha;, &beta; 是[[多重指标]]，C<sup>&infin;</sup>('''R'''<sup>n</sup>) 是所有从'''R'''<sup>n</sup>射到'''C''' 的光滑函数。

:<math>\|f\|_{\alpha,\beta}=\sup_{x\in\mathbf{R}^n}|x^\alpha D^\beta f(x)|.</math>

其中<math>\sup</math> 符号指函数的[[最小上界]]，<math>D^\beta</math>指多重指标下的导数。简单来说，速降函数是指当<math>|x|\to\infty</math> 时趋近于零的速度比所有的[[多项式]]的[[倒数]]都快，并且任意阶的[[导数]]都有这种性质的函数。

==例子==

* 设 ''i'' 是一个多重指标，''a'' 是一个正实数，那么
:<math>x^i e^{-a x^2}  \in \mathcal{S} (\mathbb{R}^n)</math>

比如，[[高斯函数]]<math>f(x) = e^{- x^2}</math>就是一个速降函数。这是因为对任意的多重指标 &alpha;, &beta;
:<math>\|f\|_{\alpha,\beta}=\sup_{x\in\mathbf{R}^n}|x^\alpha D^\beta f(x)| \le x^{\alpha + \beta } 2^{\| \beta \|}e^{- x^2} < \infty</math>。

* 任意的[[支撐集|紧支撑]]光滑函数''f'' 都属于<math>\mathcal{S}</math>，这是因为''f'' 的所有的导函数乘以任意的<math>x^\alpha</math>都是紧支撑的，所以必然有界，也就是说(''x''<sup>&alpha;</sup> D<sup>&beta;</sup>) ''f'' 在'''R'''<sup>n</sup> 上有最大值。

*如果一个光滑函数仅仅满足自身乘以任意的<math>x^\alpha</math>都有界的话，这个函数不一定是速降函数。导函数也具有同样的性质这一点是很重要的。例如函数
:<math>f(x) = e^{-x} \cdot e^{-i e^{2x}}</math>
''f''自身乘以任何的<math>x^\alpha</math>都有界，但它的导数：
:<math>f'(x) = -e^{-x} \cdot e^{i e^{2x}} - 2i e^{-x} i e^{2x} \cdot e^{i e^{2x}} = -f(x) + 2 e^{x} \cdot e^{i e^{2x}}</math>
而<math>2e^{x} \cdot e^{i e^{2x}}</math>是一个指数发散的函数，甚至不趋于零，当然不是速降函数。从而<math>f'(x)</math>也不是速降函数。

==性质==
* <math>\mathcal{S}</math> 是复数的[[弗雷歇空间]]。

*如果<math>f</math> 是速降函数，那么<math>\|f\|_{\alpha,\beta}</math>在<math>|x| \rightarrow \infty</math> 时一定趋于0。

*速降函数空间<math>\mathcal{S}</math> 中的元素乘以多项式之后仍然属于<math>\mathcal{S}</math>。甚至只要函数<math>u</math> 在<math>|x| \rightarrow \infty</math> 时是某个多项式的等价无穷大，那么<math>\mathcal{S}</math> 中的元素乘以<math>u</math> 后仍在<math>\mathcal{S}</math> 中。

* 根据[[莱布尼兹法则|微分的莱布尼兹法则]]，速降函数[[空间]]<math>\mathcal{S}</math> 在函数乘法运算下封閉。也就是说，如果两个函数<math>f,g \in \mathcal{S}</math>，那麼有 <math>fg\in\mathcal{S}</math>。這裡的乘積是[[逐點乘積]]。

* 对所有的1 &le; ''p'' &le; &infin;，都有<math>\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)\subset L^p(\mathbb{R}^n),</math>，其中''L''<sup>p</sup>('''R'''<sup>n</sup>) 是所谓的[[Lp空间]]，也就是说所有在'''R'''<sup>n</sup> 上''p'' 次可积的函数的空间。 

* 傅里叶变换是 <math>\mathcal{S} \to \mathcal{S}</math> 的一个线性自同构。

==参考来源==

* L. Hörmander, ''The Analysis of Linear Partial Differential Operators I, (Distribution theory and Fourier Analysis)'', 2nd ed, Springer-Verlag, 1990.
* M. Reed, B. Simon, ''Methods of Modern Mathematical Physics: Functional Analysis I, Revised and enlarged edition'', Academic Press, 1980.

{{泛函分析}}

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