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{{NoteTA|G1=物理學}}
{{向量字體常規}}
[[物理學]]中，'''速度加成式'''是將不同[[參考系]]下個別描述同一移動物體速度的關聯[[方程式]]。

== 伽利略速度加成 ==
[[伽利略]]觀察到：當一艘[[船]]以相對海岸的速度'''v'''移動，而在船上量到一隻[[蒼蠅]]以速度'''u'''移動，則海岸邊的人會測到的蒼蠅速度服從速度加成式：
:<math>\,
\mathbf{s} = \mathbf{v} + \mathbf{u}
</math>
其中'''s'''是相對於海岸的蒼蠅速度。

在船與蒼蠅速度都遠小於[[真空]]中[[光速]]''c''時，這個[[向量]]直接相加的速度加成式大致正確。此為牛頓力學的一項[[運動學]]基礎。適用牛頓力學的伽利略宇宙採用了[[絕對時空]]的概念，而速度加成服從[[伽利略變換]]的關係式。

== 狹義相對論 ==
上述的例子在[[狹義相對論]]的情形，船參考系的時鐘與尺與岸上的不同。[[同時]]的概念也有所改變，因此速度加成式也不一樣。這些差異在速度遠小於''c''的情形是可忽略的，而在接近光速時就變得重要。對於''同一直線上''（共線性）的運動，速度加成式變為：

<math>\vec{v}_\mathrm{B|A}=\frac{\vec{v}_\mathrm{B}-\vec{v}_\mathrm{A}}{1-\frac{\vec{v}_\mathrm{A}\vec{v}_\mathrm{B}}{c^2}}</math>

其與[[雙曲函數|雙曲正切函數]]的加成式形式相同：
:<math>
\tanh(\alpha + \beta) = {\tanh(\alpha) + \tanh(\beta) \over 1+ \tanh(\alpha) \tanh(\beta) }
</math>
其中
:<math>
{v\over c} = \tanh(\alpha) \ , \quad {u \over c}=\tanh(\beta) \ , \quad\, {s\over c}=\tanh(\alpha +\beta)
</math>。

可看出共線性的速度加成是符合[[結合律]]與[[交換律]]的。物理量α與β（等於速度除以''c''的[[反雙曲函數|artanh]]）稱為[[快度]]。如此原因是因為相對論中的[[勞侖茲變換]]可想作是雙曲旋轉，[[雙曲角|旋轉角度]]即快度，而這個轉角是可以加成的。

速度加成式有另個等價代數形式，透過[[光速不變原理]]可導得：<ref>Mermin, N. David (2005). It's About Time: Understanding Einstein's Relativity. Princeton University Press, p. 37. ISBN 0-691-12201-6.</ref>
:<math> {c-s \over c+s} = \left({c-u \over c+u}\right)\left({c-v \over c+v}\right). </math>

共線性的速度加成式為最初[[狹義相對論的實驗驗證|驗證狹義相對論]]運動學的一項測試。如[[邁克生干涉儀]]、[[菲佐實驗]]都是這類實驗，其中用到與光行進方向相同的流動液體。光在液體中的速率叫真空中為慢，並且隨著流體速度變化。相關實驗皆顯示相對論的速度加成式是正確的。

== 相關條目 ==
* [[伽利略變換]]
* [[勞侖茲變換]]
* [[勞侖茲群]]
* [[複四元數]]

== 參考文獻 ==
{{Reflist}}

== 外部連結 ==
* {{en}}[[阿諾·索末菲]](1909): [[s:en:Translation:On the Composition of Velocities in the Theory of Relativity|On the Composition of Velocities in the Theory of Relativity]], Verh. der DPG, 21: 577-582

{{狹義相對論}}

{{DEFAULTSORT:Velocity-Addition Formula}}
[[Category:狹義相對論]]
[[Category:方程]]
[[Category:速度]]
[[Category:運動學]]