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{{Rough translation|time=2023-01-26T19:53:15+00:00}}
[[File:General_flux_diagram.svg|thumb|[[向量場]]'''F'''的[[場線]]通過具有[[单位向量|單位]]法線'''n'''的表面，從'''n'''到'''F'''的角度為''θ''。通量是多少場通過給定表面的量度。'''F'''被分解為與'''n'''垂直（⊥）和平行（‖）的分量。只有平行分量對通量有貢獻，因為它是在一個點處穿過表面的場的最大範圍，垂直分量沒有貢獻。

'''上圖：'''通過平面的三條磁力線，一條垂直於表面，一條平行，一條中間 。'''下圖：'''通過{{link-en|曲面|Surface}}的磁力線，顯示單位法線和表面元素的設置以計算通量。]]
[[File:Surface_integral_-_definition.svg|thumb|為了計算通過表面{{mvar|S}}的矢量場{{math|'''F'''}}（''紅色箭頭''）的通量，將表面分成小塊{{mvar|dS}}。通過每個面片的通量等於場的法線（垂直）分量，即{{math|'''F'''('''x''')}}與點{{math|'''x'''}}處的單位法向量{{math|'''n'''('''x''')}}（'''藍色箭頭'''）乘以面積{{mvar|dS}}的[[点积|內積]]。 表面上每個小塊的{{math|'''F''' • '''n''', ''dS''}}之和是通過表面的通量。]]
'''通量'''（{{lang-en|Flux}}），或稱'''流束'''是通過一個表面或一個物質的量，是一个[[物理学]]和应用数学的概念。在[[热学]]和[[流体力学]]领域中，研究[[输运现象]]时，是指在[[单位时间]]内通过[[单位面积]]的具有方向的[[流量]]，它是一个[[向量]]；在[[电磁学]]领域中，是指在[[单位面积]]上垂直于其表面的[[磁场]]或[[电场]]的强度，它是一个[[标量 (物理学)|标量]]。

给定一个三维空间中的向量场<math> \mathbf{A} </math>以及一个简单有向曲面<math> \Sigma </math>，则向量场<math> \mathbf{A} </math>通过曲面<math>\Sigma</math>的通量就是曲面每一点<math>x</math>上的场向量<math> \mathbf{A}(x)</math>在曲面法向方向上的分量的积分:
:<math>\Phi_{\mathbf{A}}( \Sigma ) = \iint\limits_{\Sigma}\mathbf{A}\cdot\mathbf{n}\mathrm{d}S</math>
其中<math> \mathrm{d}S </math>是积分的面积元，'''n'''是Σ在点(x,y,z)处的单位[[法向量]]。如果曲面是封闭的，例如球面，那么通常约定法向量是从裡朝外的，所以这时候的通量是描述曲面上的场向量朝外的程度。

== 術語 ==
通量這個詞源於[[拉丁語]]：fluxus 意為“流”，fluere 是“流動”的意思。而 fluxion 一詞是由[[牛頓]]引入[[微積分]]。

[[熱通量]]的概念是[[约瑟夫·傅里叶|約瑟夫·傅立葉]]對[[熱傳遞]]現象分析的重要貢獻之一。他的重要著作《熱的分析理論》（{{lang-en|The Analytical Theory of Heat}}）中，將 fluxion 定義為一個核心量，並推導出了現在的通量表達式。這些表達式與平板的溫度差異有關，且更廣義地在其他幾何形狀的溫度[[梯度]]或溫度差異有關。根據[[詹姆斯·克拉克·麦克斯韦|詹姆斯·克拉克·馬克士威]]的研究，可以顯示其傳輸的定義早於[[磁通量]]定義。馬克士威的具體引言是：

{{blockquote|In the case of fluxes, we have to take the integral, over a surface, of the flux through every element of the surface. The result of this operation is called the surface integral of the flux. It represents the quantity which passes through the surface.（{{lang-zh|就通量而言，我們必須以通過表面的每個通量對其表面取積分。這個操作的結果即通量的[[曲面積分]]。它呈現的是通過該表面的[[量]]。}}） | 詹姆斯·克拉克·馬克士威}}

根據傳輸的定義，通量可為單一向量，也可以是位置的[[向量場]]／函數。後者的通量可以很容易地在一個表面上積分。相比之下，根據[[電磁學]]定義，通量是對表面的積分；對於第二種定義的通量進行積分是沒有意義的，因為這樣會對表面進行兩次積分。因此，馬克士威的引言只有在“通量”按照傳輸定義使用時才有意義（進一步來說，是向量場而不是單一向量）。這很諷刺，因為馬克士威是我們現在所稱的“[[電通量]]”和“[[磁通量]]”的主要發展者之一，而這些名稱是根據電磁學定義來的。根據該引言（和傳輸定義），它們應該被稱為“電通量的曲面積分”和“磁通量的曲面積分”。在這種情況下，“電通量”應定義為“電場”，“磁通量”應定義為“磁場”。這意味著馬克士威將這些場視為某種形式的流動／通量。

根據電磁學定義的通量，其相應的通量密度（假設使用這個術語）指的是沿積分表面的導數。根據[[微積分基本定理]]，相應的通量密度是根據傳輸定義的通量。給定一個流，例如電流——每單位時間的通電量，[[電流密度]]根據傳輸定義也是一個通量——每單位時間每單位面積的通電量。由於通量的定義衝突，以及在非技術性英語中通量、流動和電流的互換性，本文中的所有術語有時會被互相使用且可能含義模糊。本文其餘部分中具體的通量將根據其在文獻中的廣泛接受度來使用，無論該術語對應哪種通量的定義。

== 以單位面積流量表示的通量 ==
在[[輸送現象]]（[[熱傳]]、[[質傳]]和[[流體動力學]]），通量被定義為「每單位面積的流量的流動率」，其[[因次]]組成為 [[量 (物理)]]·[時間]<sup>−1</sup>·[面積]<sup>−1</sup><ref>{{cite book | first=R. Byron | last=Bird | author-link=Robert Byron Bird | author2=Stewart, Warren E. | author3=Lightfoot, Edwin N. | author3-link=Edwin N. Lightfoot | year=1960 | title=Transport Phenomena | publisher=Wiley | isbn=0-471-07392-X | url-access=registration | url=https://archive.org/details/transportphenome00bird }}</ref>。這個面積是流“通過”或“穿過”的表面。例如，每秒鐘流經河流橫截面的水量除以橫截面的面積，或是每秒鐘落在地面一塊區域上的陽光能量除以該區域的面積，都是通量的例子。

=== 一般數學定義（傳輸） ===
以下是按複雜度遞增的三個定義。每個定義都是下面這個的一個特例。在所有情況下，常用符號 <math display="inline">j
</math>（或 <math display="inline">J</math>）表示通量，<math display="inline">q</math> 表示流動的[[物理量]]，<math display="inline">t</math> 表示時間，<math display="inline">A</math> 表示面積。當且唯當這些標識符是向量時，它們將以粗體顯示。

首先，通量作為一個（單一的）[[純量]]時：

<math display="block">j=\frac{I}{A}</math>

其中

<math display="block">I = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta q}{\Delta t} = \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}</math>

在這種情況下，測量固定的通量的表面，且具有面積<math>A</math>。假設該表面是平坦的，而流量在各處相對於位置是恆定的，並且垂直於表面。

其次，通量作為沿著表面定義的[[纯量场|純量場]]，即作為表面上各點的函數：

<math display="block">j(\mathbf{p}) = \frac{\partial I}{\partial A}(\mathbf{p}),</math><math display="block">I(A,\mathbf{p}) = \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}(A, \mathbf{p}).</math>

如上所述，假設表面是平坦的，且流量在各處都垂直於表面。然而，流不需要是恆定的。此時，<math>q</math> 是 '''p'''（表面上的一個點）的函數，面積 <math>A</math>亦是。與其測量通過整個表面的總流量，不如 <math>q</math> 測量的是以  '''p''' 為中心、沿表面上面積 A 的圓盤通過的流量。

最後，通量作為一個[[向量場]]時：
<math display="block">\mathbf{j}(\mathbf{p}) = \frac{\partial \mathbf{I}}{\partial A}(\mathbf{p}),</math>
<math display="block">\mathbf{I}(A,\mathbf{p}) = \underset{\mathbf{\hat{n}}}{\operatorname{arg\,max}} \mathbf{\hat{n}}_{\mathbf p} \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}(A,\mathbf{p}, \mathbf{\hat{n}}).</math>

在這種情況下，我們沒有固定的表面來測量。<math>q</math> 是一個點、面積和方向（由[[單位向量]] <math>\mathbf{\hat{n}}</math> 給定）的函數，並測量與該單位向量垂直的面積 A 的圓盤中的流量。<math>I</math> 的定義是選擇使該點周圍流量最大的單位向量，因為真正的流量在垂直於該單位向量的圓盤上達到最大值。因此，當單位向量指向流動的“真正方向”時，它唯一地最大化該函數。（嚴格來說，這是一種[[濫用符號]]，因為“arg max”無法直接比較向量；我們改為選擇具有最大[[範數]]的向量。）

==== 性質 ====
這些直接的定義，尤其是最後一個，顯得相對不完善。例如，從{{link-en|經驗測度|Empirical measure}}來看，arg max 的構造是人工的，而使用[[風向標]]或類似工具可以簡單推斷出某一點的通量方向。與其直接定義向量通量，通常更直觀的是陳述一些關於它的性質。此外，通量可以根據這些性質唯一確定。

若通量 '''j''' 以角度 <math>\theta</math> 通過（<math>\theta</math>為該通量與該面積法向量 <math>\mathbf{\hat{n}}</math> 形成之夾角），則其[[點積]]為：
<math display="block">\mathbf{j} \cdot \mathbf{\hat{n}} = j\cos\theta</math>

也就是說，通過表面的通量分量（即垂直於表面的分量）是 
<math>j\cos{\theta}</math>，而沿切向通過表面的通量分量是 <math>j\sin{\theta}</math>，但實際上沒有通量沿切向通過表面。唯一通過且垂直表面的通量分量是其餘弦分量。

對於向量通量，通量 '''j'''在表面 <math>S</math>上的[[曲面積分]]給出了每單位時間通過該表面的適當流量：
<math display="block">\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} = \iint_S \mathbf{j} \cdot \mathbf{\hat{n}}\, dA = \iint_S \mathbf{j} \cdot d\mathbf{A}</math>

其中 '''A'''（及其無窮小量）是{{link-en|向量面積|vector area}}—— <math>\mathbf{A} = A \mathbf{\hat{n}}</math> 的組合，結合了面積 A 的大小和垂直於該面的單位向量 <math>\mathbf{\hat{n}}</math>
。與第二組方程式不同的是，這裡不需要平坦的表面。

=== 傳輸通量 ===

==== 化學擴散 ====

=== 量子力學 ===


==参见==
*[[流量]]
*[[光通量]]
*[[磁通量]]
*[[电通量]]

[[Category:物理量]]
[[Category:向量分析]]
[[Category:率]]

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