查看“︁逐点乘积”︁的源代码

{{unreferenced|time=2010-08-03T09:51:18+00:00}}
{{NoteTA
|G1 = Math
}}
{{about|函數的逐點乘積|矩陣的逐點乘積|阿達瑪乘積 (矩陣)}}

两个[[函数]]的'''逐点乘积'''（{{Lang-en|pointwise product}}）由两函数在定义域上的每一值的映射相乘得到，仍是一个函数。若''f'' 和''g'' 都是定义域为''X''，[[上域]]为''Y'' 的函数，且''Y'' 中的元素可以与其他数相乘（例如''Y''可以是某个数集），则''f'' 与''g'' 的逐点乘积是从''X'' 到''Y'' 的另一个函数，这个函数将''x'' ∈ ''X'' 映射到''f''(''x'')''g''(''x'')。

==形式定义==
令''X'' 和''Y'' 为[[集合 (数学)|集合]]，令[[乘法]]定义在''Y'' 内，也就是说对於''Y'' 中的每一''y'' 和''z'' ，令由<math>y \cdot z = yz</math>给定的[[乘积]]
: <math>\cdot : Y \times Y \longrightarrow Y</math>
明确定义。令''f'' 和''g'' 为[[函数]]''f''，''g'' : ''X'' → ''Y'' ，则对於''X'' 中的每一''x''，'''逐点乘积''' (''f''·''g'') : ''X'' → ''Y''由下式定义为

: <math>(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)</math>

上式在[[二元运算符]]·略去时也同样乘积，其中''f''·''g'' = ''fg''。

==例子==
最常见的例子是当[[上域]]是乘法明确定义了的环或[[域 (數學)|-{zh-cn:域; zh-tw:體;}-]]时，两个函数的逐点乘积。

* 若''Y'' 是[[实数]]集'''R'''，则''f''，''g'' : ''X'' → '''R'''的逐点乘积是映射的普通乘法。例如，有函数''f''(''x'') = 2''x'' 和''g''(''x'') = ''x'' + 1，则对於'''R'''中的每一实数''x'' ，

: <math>(fg)(x) = f(x)g(x) = 2x(x + 1) = 2x^2 + 2x\,</math>

* [[卷积定理]]叙述了卷积的傅里叶变换是傅里叶变换的逐点乘积：

: <math>\mathcal{F}\{f*g\} = \mathcal{F}\{f\} \cdot \mathcal{F}\{g\}</math>

==逐点乘积的代数应用==
令''X'' 为[[集合 (数学)|集合]]，''R'' 为环。因为[[加法]]和[[乘法]]都在''R'' 中有定义，我们可以通过定义函数的逐点加法、乘法和标量乘法，从''X'' 到''R'' 的函数中构造一个代数结构，这样的代数称为[[k-代数]]（-{zh-cn:域; zh-tw:體;}-上的代数）。

若''R''<sup>&thinsp;''X''</sup>标示''X'' 到''R'' 的函数集，那么就称若''f''、''g'' 是''R''<sup>&thinsp;''X''</sup>的元素，则''f'' + ''g''、''fg'' 和''rf'' 都是''R''<sup>&thinsp;''X''</sup> 的元素，其中''rf'' 定义为对''R'' 中的所有''r'' 都有
: <math>(rf)(x) = rf(x)\,</math>

==推广==
若''f'' 和''g'' 都的定义域中包含一组离散变量的所有可能赋值，则它们的逐点乘积是由一个函数，这一函数的定义域是由两个函数定义域的[[并集]]中的所有可能赋值组成。每一赋值的取值由由两个给定函数值的乘积计算，而二者的赋值子集都在定义域中。

例如，给定布尔变量''p'' 和''q'' 的函数''f''<sub>1</sub>()与布尔变量''q'' 和''r'' 的函数''f''<sub>2</sub>()，且二者[[值域]]都包含於'''R'''，则''f''<sub>1</sub>() 与''f''<sub>2</sub>() 的逐点乘积如下表所示：

<center>
 {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=5
 |- style="background:silver"
 | ''p'' || ''q'' || ''r'' || ''f''<sub>1</sub>(''p'', ''q'') || ''f''<sub>2</sub>(''q'', ''r'') || 逐点乘积
 |- align="center"
 | T || T || T ||         0.1        ||       0.2          ||       0.1 x 0.2   
 |- align="center"
 | T || T || F ||         0.1        ||       0.4          ||       0.1 x 0.4   
 |- align="center"
 | T || F || T ||         0.3        ||       0.6          ||       0.3 x 0.6   
 |- align="center"
 | T || F || F ||         0.3        ||       0.8          ||       0.3 x 0.8   
 |- align="center"
 | F || T || T ||         0.5        ||       0.2          ||       0.5 x 0.2   
 |- align="center"
 | F || T || F ||         0.5        ||       0.4          ||       0.5 x 0.4   
 |- align="center"
 | F || F || T ||         0.7        ||       0.6          ||       0.7 x 0.6   
 |- align="center"
 | F || F || F ||         0.7        ||       0.8          ||       0.7 x 0.8   
 |}
</center>

[[分类:初等代数]]
[[分类:二元運算]]