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[[微积分学]]的逐次积分'''（'''{{Lang-en-short|''iterated integral''}}）是在计算多重积分时将其中一些变量视为任意常数，重复进行多次积分而得到的积分。例如，对于二变量函数''f'' ( ''x'', ''y'' )的二重积分， 先将''y''视为常数，并且关于''x''积分&#x222B;&#x2009;''f'' ( ''x'' ,&#x2009;''y'' ) ''dx'' ，得到关于''y''的函数，进一步对''y''进行积分，这就得到了逐次积分。

: <math>\int\left(\int f(x,y)dx\right)dy</math>

考虑逐次积分的概念时，重要的一点就是

: <math>\iint f(x,y)\,dx\,dy</math>

逐次积分与多重积分实际上是兩个不同的概念。但是即使两者不同，但由于[[富比尼定理]]，它们在足够宽松的条件下计算出的结果一致。

一种简化的表示法是

: <math>\int dy \int f(x,y)\,dx</math>

这种记号也很常用，但这并不是&#x222B; ''dy''和&#x222B; ''f'' ( ''x'' ) ''dx''的乘积。只不过是逐次积分的一种表示方法。

顺序积分是按照dxdy等指定的顺序来计算的，一般是从内到外依次计算。（即先对x积分之后在对y积分）。

== 例子 ==

=== 简单的计算 ===
对于逐次积分

: <math>\int\left(\int (x+y) \, dx\right)dy</math>

的计算，首先将''y''作为常数，对括号里面关于''x'' 积分（此步骤称为部分积分（{{Lang-en-short|''partial integration''}}）），

: <math>\int (x+y) \, dx = \frac{x^2}{2} + yx</math>

这是个常见的单变量积分，之后再对y积分可得

: <math>\int \Bigl(\frac{x^2}{2} + yx\Bigr)dy = \frac{yx^2}{2} + \frac{xy^2}{2} </math>

要注意的是，在该计算过程中应该出现的积分常数被省略了。第一次进行积分时出现的积分常数对于''x''来说是一个“常数”，严格来说，它是一个可能包含''y''的函数。这是因为，对f(x,y)关于x偏微分时，只含有y的项会被当作常数，而常数的导数为0，因此y的项就被消掉了。同样的，在第二次关于y的积分中，应该有关于''x''的函数被添加为“积分常数”。在这种情况下，多元函数的不定积分没有非常明确的意义。相对于单变量函数的原始函数与不定积分最多就差个常数，多变量函数的原始函数中可能和不定积分有很大的差异。

=== 积分顺序 ===
在逐次积分中，计算积分的顺序很重要。例如，对于很多稍微复杂的函数，如果计算顺序改变，结果就会改变。

假设正数单调递增数列 0 &#x3C; ''a'' <sub>0</sub> &#x3C; ''a'' <sub>2</sub> &#x3C; … 满足''a'' <sub>''n''</sub> &#x2192; 1，定义连续函数''g'' <sub>''n''</sub>在开区间 ( ''a'' <sub>''n''</sub>, ''a'' <sub>''n'' +1</sub> ) 中不为 0，此外始终为0，此外如果对于任何''n'' 有<math>\int^1_0g_n(x)dx</math>，则能定义一个函数f(x,y)

: <math>f(x,y)=\sum_{n=0}^\infty (g_n(x)-g_{n+1}(x))g_n(y)</math>

这意味着对于每个 ( ''x'', ''y'' )，最多有一个非零项。注意到这一点，有

: <math>\int_0^1 \left(\int_0^1 f(x,y) \,dy\right)dx = 1\neq 0 = \int_0^1 \left(\int_0^1 f(x,y)\, dx\right)dy</math>

{{Harvard citation|Rudin|1970}}   。

== 参考 ==

* {{Cite book|first=Rudin|last=W.|authorlink=ウォルター・ルーディン|title=Real and complex analysis|url=https://archive.org/details/realcomplexanaly0000rudi|edition=3rd.|publisher=[[マグロウヒル|McGraw-Hill]]|isbn=0-07-054234-1|year=1987}}<templatestyles src="Module:Citation/CS1/styles.css" />{{Cite book|first=Rudin|last=W.|authorlink=ウォルター・ルーディン|title=Real and complex analysis|url=https://archive.org/details/realcomplexanaly0000rudi|edition=3rd.|publisher=[[マグロウヒル|McGraw-Hill]]|isbn=0-07-054234-1|year=1987}}
* {{Cite book|title=解析概論|last=高木貞治|edition=改訂第三版|publisher=岩波書店}}

== 相关书籍 ==

* {{Cite book|title=反復積分の幾何学|series=シュプリンガー現代数学シリーズ|last=河野俊丈|publisher=シュプリンガージャパン|year=2009|isbn=978-4431706694}}<templatestyles src="Module:Citation/CS1/styles.css" />{{Cite book|title=反復積分の幾何学|series=シュプリンガー現代数学シリーズ|last=河野俊丈|publisher=シュプリンガージャパン|year=2009|isbn=978-4431706694}}

== 外部链接 ==

* <templatestyles src="Module:Citation/CS1/styles.css"></templatestyles>{{MathWorld|title=Repeated Integral}}
* {{PlanetMath|title=integral over plane region}}
[[Category:積分]]