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'''選擇函數'''是一個[[函數]]''f''，其[[定義域]]''X''為一堆非空集合組成的集合，且對每一個在''X''內的''S''，均有''f''(''S'')∈''S''。換句話說，''f''會在''X''的每一集合中恰好選取一個元素。

[[選擇公理]]（AC）斷言，每一非空集合組成的集合都會有一選擇函數。另一較弱的選擇公理－[[可數選擇公理]]（CC）則斷言每一非空集合組成的''[[可數集|可數]]''集合都會有一選擇函數。但無論如何，即使沒有AC或CC，某些集合還是可以有選擇函數。

*若''X''為一非空集合組成的[[有限集合]]，則可以建立一選擇函數，由每一個''X''的元素內選取一個元素。這只需要做有限多次的選擇，所以不需要用到AC或CC。

*若''X''的每一元素都是非空的[[良序關係|良序集]]，則可以由每一個''X''的元素中選取其[[極小元]]。如此，或許需要有無限多次的選擇，但我們有明確的選擇規則，所以也不需要AC或CC。分辨「良序」和「可良序」是很重要的：當''X''的元素都是可良序的，那麼我們需要選取每一元素的一[[良序]]，而這又可能需要無限多次隨意的選擇，因此需要有AC（或CC，若''X''為可數無限）。

*若''X''的每一元素都是非空集合，且其[[聯集]]<math>\bigcup X</math>為可良序的，則有可能可以選擇一此聯集的良序，且給''X''內每一元素誘導出相應的良序，如此一個選擇函數就可以如前述例子一樣地存在。在此一例子裡，可以只做一次選擇便決定''X''內每一元素的良序，故不需要AC或CC。（此一例子表示出若[[良序定理]]成立，即每一集合若皆可良序的話，則AC成立。其[[逆命題]]亦為真，但並不那麼顯然。）

==参见==
* [[選擇公理]]
* [[可數選擇公理]]
* [[豪斯多夫悖論]]
{{planetmath|urlid=choicefunction|title=Choice function}}

[[Category:选择公理]]
[[Category:模型论]]