查看“︁逆矩阵”︁的源代码

{{NoteTA|G1=Math}}
{{distinguish|轉置矩陣}}
{{线性代数}}
'''逆矩陣'''（inverse matrix），又稱'''乘法反方陣'''、'''反矩陣'''。在[[线性代数]]中，給定一个''n'' 階[[方形矩陣|方陣]]<math>\mathbf{A}</math>，若存在一''n'' 階方陣<math>\mathbf{B}</math>，使得<math>\mathbf{AB}=\mathbf{BA}=\mathbf{I}_n</math>，其中<math>\mathbf{I}_n</math>为''n'' 階[[单位矩阵]]，則稱<math>\mathbf{A} </math>是'''可逆'''的，且<math>\mathbf{B}</math>是<math>\mathbf{A}</math>的'''逆矩陣'''，記作<math>\mathbf{A}^{-1}</math>。

只有方陣（''n×n'' 的矩陣）才可能有逆矩陣。若方阵<math>\mathbf{A}</math>的逆矩阵存在，则称<math>\mathbf{A}</math>为[[非奇异方阵]]或可逆方阵。

與[[行列式]]類似，逆矩陣一般用於求解聯立方程組。

==求法==
=== 伴随矩阵法 ===
如果矩阵<math>A</math>可逆，则<math>A^{-1} =  \frac{\mathrm{adj}(A)}{\det(A)} = \frac{A^*}{|A|}</math>其中<math>A^*=\mathrm{adj}(A)</math>是<math>A</math>的[[伴随矩阵]]，<math>|A|=\mathrm{det}(A)</math>是<math>A</math>的[[行列式]]。 
 
注意：<math>A^*</math>中元素的排列特点是<math>A^*</math>的第<math>k</math>'''列'''元素是<math>A</math>的第<math>k</math>'''行'''元素的[[代数餘子式]]。要求得<math>A^*</math>即为求解<math>A</math>的[[余因子矩阵]]的[[转置矩阵]]。

=== 初等变换法 ===
如果矩阵<math>A</math>和<math>B</math>互逆，则<math>AB=BA=I</math>。由条件<math>AB=BA</math>以及[[矩阵乘法]]的定义可知，矩阵<math>A</math>和<math>B</math>都是[[方块矩阵|方阵]]。再由条件<math>AB=I</math>以及定理“两个矩阵的乘积的[[行列式]]等于这两个矩阵的行列式的乘积”可知，这两个矩阵的行列式都不为<math>0</math>。也就是说，这两个[[矩阵的秩]]等于它们的级数（或称为阶，也就是说，A与B都是<math>n\times n</math>方阵，且<math>\mathrm{rank}(A) = \mathrm{rank}(B) = n</math>换而言之, <math display="inline">A</math>与<math display="inline">B</math>均为满[[秩 (线性代数)|秩]]矩阵）。换句话说，这两个矩阵可以只经由[[初等行变换]]，或者只经由[[初等列变换]]，变为单位矩阵。

因为对矩阵<math>A</math>施以初等行变换（初等列变换）就相当于在<math>A</math>的左边（右边）乘以相应的[[初等矩阵]]，所以我们可以同时对<math>A</math>和<math>I</math>施以相同的初等行变换（初等列变换）。这样，当矩阵<math>A</math>被变为<math>I</math>时，<math>I</math>就被变为<math>A</math>的逆阵<math>B</math>。

==性质==
# <math>\left (A^{-1}  \right )^{-1}=A</math>
# <math>(\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}\times A^{-1}</math>
# <math>(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}</math>
# <math>\left (A^\mathrm{T} \right )^{-1}=\left (A^{-1} \right )^{\mathrm{T}}</math>（<math>A^{\mathrm{T}}</math>为A的[[转置矩阵|转置]]）
# <math>\det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}</math>（det为[[行列式]]）

==广义逆阵==
{{Main|广义逆阵}}
广义逆阵（{{lang|en|Generalized inverse}}）又称伪逆，是对逆阵的推广。一般所说的伪逆是指[[摩尔－彭若斯广义逆]]，它是由[[E·H·摩爾]]和[[羅傑·潘洛斯]]分别独立提出的。伪逆在求解线性[[最小二乘法|最小二乘问题]]中有重要应用。

==参见==
* [[矩阵]]
* [[广义逆阵]]
* [[除法]]

{{线性代数的相关概念}}

[[Category:矩陣|N]]