查看“︁逆散射变换”︁的源代码

'''逆散射变换'''是求解某些非线性[[偏微分方程]]的一种方法，在某种意义上是[[傅里叶变换]]的非线性推广。这种方法的核心思想是，从散射数据的演变中恢复势的演变：逆散射指的是从散射矩阵中恢复势的问题。

逆散射变换可用于许多所谓“[[可积系统#完全可解模型|完全可解模型]]”，即完全可积的无限维系统。

==概述==
逆散射变换首先由{{harvs|txt|last1=Gardner|first1=Clifford S.|last2= Greene|first2= John M.|last3= Kruskal|first3= Martin D.|last4= Miura|first4= Robert M.|year1=1967|year2=1974}}提出，用于求解[[KdV方程]]，并很快扩展到[[非线性薛定谔方程]]、[[正弦-戈尔登方程]]及[[户田晶格]]方程。后来也用于求解[[KP方程]]、[[石森方程]]、[[迪姆方程]]等等。[[博格莫尼-普拉萨德-萨默菲尔德限|博格莫尼方程]]（对于给定的规范群与定向黎曼3流形）提供了一族例子，其<math>L^2</math>解是[[磁单极子]]。
用逆散射法得到的解有一个特点，就是存在[[孤波]]，是类似于粒子又类似于波的解，线性偏微分方程中没有这种解。“孤波”是非线性光学的概念。
逆散射问题可以写作[[黎曼–希尔伯特问题|黎曼–希尔伯特分解]]问题，至少在一个空间维度的方程中是这样。这种表述可以推广到多阶微分算子和周期势。
在更高的空间维度中，会遇到“非局部”黎曼–希尔伯特分解问题（用卷积代替乘法）或[[Dbar问题]]。

==例子：KdV方程==

KdV方程是非线性分散演化[[偏微分方程]]，涉及有两个[[实数|实]]变量（空间变量''x''与时间变量''t''）的[[函数]]''u''：

:<math> u_t - 6uu_x + u_{xxx} = 0 </math>

其中<math> u_t </math>、<math> u_x </math>分别表示关于''t''和''x''的[[偏导数]]。

<math>u(x,0)</math>是''x''的已知函数，要解初值问题，可将薛定谔特征方程

:<math> \psi_{xx} -u\psi=\lambda\psi.</math>

与这个方程联系起来，其中<math>\psi</math>是''t''与''x''的未知函数，''u''是KdV方程的解，除了在<math>t=0</math>时未知。常数<math>\lambda</math>是一个特征值。

根据薛定谔方程，可得
:<math> u=\frac{1}{\psi} \psi_{xx} - \lambda.</math>

将其代入KdV方程并积分，得到

:<math> \psi_t + \psi_{xxx} -3(u-\lambda)
\psi_x = C\psi+D\psi\int \frac{1}{\psi^2} dx</math>

其中''C''、''D''为常数。

==解法==
'''Step 1.''' 确定非线性偏微分方程。这通常是通过分析所研究的[[物理]]实现的。

'''Step 2.''' 应用''正向散射''。关键是找到[[Lax 对]]，Lax 对由两个线性[[算子]]<math>L</math>、<math>M</math>组成，即<math>Lv=\lambda v</math>、<math>v_t=Mv</math>。极为重要的是，[[特征值]]<math>\lambda</math>与时间无关，即<math>\lambda_t=0.</math>实现这一点的必要条件与充分条件如下：取<math>Lv=\lambda v</math>的时间[[导数]]，得到

:<math>L_t v + L v_t = \lambda_t v + \lambda v_t .</math>

将<math>Mv</math>插入<math>v_t</math>，得到

:<math>L_t v + LMv = \lambda_t v + \lambda Mv.</math>

重排最右侧的项，得到

:<math>L_t v + LMv = \lambda_t v + MLv.</math>

因此，

:<math>L_t v + LMv - MLv = \lambda_t v.</math>
由于<math>v\not=0</math>，这意味着<math>\lambda_t = 0</math>[[当且仅当]]
:<math>L_t + LM - ML = 0. \, </math>

这是Lax方程，当中<math>L_t</math>是<math>L</math>的时间导数，明确地依赖于<math>t</math>。之所以这样定义微分，是因为<math>L</math>的最简单实例，即薛定谔算子（参[[薛定谔方程]]）：

:<math>L = \partial_{xx} + u,</math>

其中u是“势”。比较表达式<math>L_t v + L v_t</math>与<math>\partial_t \left(v_{xx} +uv\right)</math>，可以发现<math>L_t = u_t,</math>因此可以忽略第一项。

拟合出适当的Lax对后，Lax方程应可恢复原来的非线性PDE。

'''Step 3.''' 确定与每个特征值<math>\lambda</math>相关的特征函数、规范常数与反射系数的时间演化，它们构成所谓散射数据。演化由线性[[常微分方程]]给出，可以求解。

'''Step 4.''' 通过求解[[马琴科方程]]<ref>Gel’fand, I. M. & Levitan, B. M., "On the determination of a differential equation from its spectral function". American Mathematical Society Translations, (2)1:253–304, 1955.</ref><ref>V. A. Marchenko, "Sturm-Liouville Operators and Applications", Birkhäuser, Basel, 1986.</ref>这一线性[[积分方程]]，进行逆散射，从而获得原非线性PDE的最终解。为此，需要所有散射数据。若反射系数为零，过程会简单很多。若<math>L</math>是一阶微分或二阶差分，这步就会起作用，但对高阶算子则不一定。不过，在所有情况下，逆散射问题都可以简化为[[黎曼–希尔伯特问题|黎曼–希尔伯特问分解]]问题。（两种方法见于Ablowitz-Clarkson (1991)。数学上的严格处理方法参Marchenko (1986)。）

==可积方程的例子==
* [[KdV方程]]
* [[非线性薛定谔方程]]
* [[卡马萨-霍尔姆方程]]
* [[正弦-戈尔登方程]]
* [[户田晶格]]
* [[石森方程]]
* [[迪姆方程]]

== 另见 ==
* [[量子逆散射法]]

==参考文献==
{{reflist}}

== 阅读更多 ==
*M. Ablowitz, H. Segur, ''Solitons and the Inverse Scattering Transform'', SIAM, Philadelphia, 1981.
*N. Asano, Y. Kato, ''Algebraic and Spectral Methods for Nonlinear Wave Equations'', Longman Scientific & Technical, Essex, England, 1990.
*M. Ablowitz, P. Clarkson, ''Solitons, Nonlinear Evolution Equations and Inverse Scattering'', Cambridge University Press, Cambridge, 1991.
*{{citation|last1=Gardner|first1=Clifford S.|last2= Greene|first2= John M.|last3= Kruskal|first3= Martin D.|last4= Miura|first4= Robert M.|author-link=Clifford S. Gardner|author-link2=John M. Greene|author-link3=Martin David Kruskal|author-link4=Robert M. Miura|title=Method for Solving the Korteweg-deVries Equation|journal=Physical Review Letters|volume=19|pages= 1095–1097 |year=1967|issue=19 |doi=10.1103/PhysRevLett.19.1095|bibcode = 1967PhRvL..19.1095G }}
*{{citation|mr=0336122|last1=Gardner|first1=Clifford S.|last2= Greene|first2= John M.|last3= Kruskal|first3= Martin D.|last4= Miura|first4= Robert M.|title=Korteweg-deVries equation and generalization. VI. Methods for exact solution. 
|journal=Comm. Pure Appl. Math.|volume= 27 |year=1974|pages= 97–133|doi=10.1002/cpa.3160270108}} 
*V. A. Marchenko, "Sturm-Liouville Operators and Applications",  Birkhäuser, Basel, 1986.
*J. Shaw, ''Mathematical Principles of Optical Fiber Communications'', SIAM, Philadelphia, 2004.
* Eds: R.K. Bullough, P.J. Caudrey. "Solitons" Topics in Current Physics 17. Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1980.

==外部链接==
* {{cite web |url= http://www.math.uwaterloo.ca/~karigiannis/papers/ist.pdf |title= Introductory mathematical paper on IST |access-date= 2023-11-14 |archive-date= 2011-09-26 |archive-url= https://web.archive.org/web/20110926232226/http://www.math.uwaterloo.ca/~karigiannis/papers/ist.pdf |dead-url= no }}&nbsp;{{small|(300&nbsp;[[Kibibyte|KiB]])}}
* [https://arxiv.org/abs/0905.4746 Inverse Scattering Transform and the Theory of Solitons] {{Wayback|url=https://arxiv.org/abs/0905.4746 |date=20230722190431 }}

[[Category:散射理论]]
[[Category:偏微分方程]]
[[Category:变换]]