查看“︁逆元素”︁的源代码

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[[数学|數學]]中，'''逆元素'''（{{lang-en|inverse element}}）又称'''逆-{}-元'''，可推廣[[加法]]中的[[反数]]和[[乘法]]中的[[倒數]]。

==定義==

設''S''為一有[[二元運算]] * 的[[集合 (数学)|集合]]。若''e''為(''S'',*)的[[單位元]]且''a''*''b''=''e''，則''a''稱為''b''的'''左逆元素'''且''b''稱為''a''的'''右逆元素'''。若一元素''x''同時是''y''的左逆元素和右逆元素時，''x''稱為''y''的'''兩面逆元素'''或簡稱為'''逆元素'''。''S''內的一有兩面逆元素的元素被稱為在''S''內為'''可逆的'''。

正如''(S,*)''可以有數個左單位元或右單位元一般，一元素同時有數個左逆元素或右逆元素也是有可能的。甚至有可能有數個左逆元素''和''右逆元素。

若其運算 * 具有[[結合律]]，則當一元素有一左逆元素和一右逆元素時，這兩個會是相同且唯一的。在這一情形之下，可逆元素的集合會是個[[群]]，稱為''S''的[[可逆元|可逆元群]]，且標記為''U''(''S'')或<math>S^*</math>。

==例子==

每一[[實數]]''x''都會有一[[加法逆元]]（即[[加法]]上的逆元素）-''x''。每一非零實數''x''都會有一[[倒數]]（即[[乘法]]上的逆元素）<math>\frac 1{x}</math>。此外，零沒有倒數。

一元素在一[[域 (數學)|體]]''K''內的[[方陣]]''M''為可逆的（在所有相同大小方陣的集合內，於[[矩陣乘法]]下）[[若且唯若]]其[[行列式]]不等於零。若''M''的行列式為零，它便不可能會有一單面逆元素，因此一單面逆元素必為兩面逆元素。更多詳情請參見[[逆矩陣]]。

更一般地，一元素在一[[可交換環]]''R''內的方陣是可逆的若且唯若其行列式在''R''是可逆的。

一函數''g''是一函數''f''的左（右）逆元素（在[[複合函數]]之下），若且唯若當<math>g\circ f</math>（<math>f\circ g</math>）為''f''[[定義域]]（[[陪域]]）上的[[恆等函數]]。在這一例子裡，一函數有右逆元素而無左逆元素，或許相反，是很常見的。

==另見==
*[[加法逆元]]
*[[倒數]]
*[[群]]
*[[擬群]]
*[[除環]]
*[[可逆元]]

{{ModernAlgebra}}
{{二元運算的性質}}

[[Category:代数|N]]