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{{NoteTA |G1=Math}}
'''适应过程'''是[[随机过程]]研究中常见的概念，表示不能“预见未来”的随机过程。非正式的数学解释是，一个随机过程是适应于某个参考族的，当且仅当在任意的特定时刻，随机过程都是[[测度|可测]]的。适应过程是随机过程理论中很多重要概念的基础。比如说能够定义[[伊藤积分]]的随机过程就需要是适应过程。

==定义==
设有
* [[概率空间]]<math>(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})</math>；
* [[测度空间]]<math>(S, \mathcal{A})</math>，状态空间；
* 有序的[[指标集]]<math>T</math>： 可以是非负[[实数]]集<math>[0, \infty)</math>、有限时间集<math>[0, T_0]</math>或离散时间<math>\mathbb{N}</math>；
* [[σ-代数]]<math>\mathcal{F}</math>上的[[参考族]]<math>\mathbb{F} = \{ \mathcal{F}_{t} | t \in T \}</math>；
* [[随机过程]]<math>X : T \times \Omega \to \mathbb{X} =  \left( X_t \right)_{t\in T} </math>。
则随机过程<math>\left( X_t \right)_{t\in T}</math>是适应过程（适应于<math>\mathbb{F}</math>的随机过程）[[当且仅当]]对任意的时刻<math>t \in T</math>，[[映射]]：<math>X_t: \Omega \to S</math>都是<math>(\mathcal{F}_t,  \mathcal{A} )</math>-可测的随机变量{{r|Cam|page1=37}}{{r|Karatzas|page1=97}}。

适应过程的定义说明，如果一个过程适应于某个参考族<math>\mathbb{F} = \{ \mathcal{F}_{t} | t \in T \}</math>，那么在任意一个特定的时刻，我们掌握的信息都包括了这个过程。也就是说这个过程在任意时刻的结果必然在该时刻可知。但一般来说，适应过程在任意时刻的结果并不能提前预知。如果一个（离散的）随机过程在时刻<math>t=n</math>的结果能够在<math>t=n-1</math>的时刻已知，那么这个过程被称为在参考族<math>\mathbb{F}</math>中'''[[可预测过程|可预测]]'''。可预测的随机过程必然适应于参考族，反之则不然。

==例子==
设状态空间<math>(S, \mathcal{A})</math>为实数及其波莱尔σ-代数<math>(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))</math>。设指标集为连续的：<math>T =  [0, \infty).</math> 给定一个随机过程<math>X = \left( X_t \right)_{t\in T}</math>，如果考虑过程<math>X</math>产生的[[自然参考族]]：<math> \tilde{\mathcal{F}}^X  = \{ \tilde{\mathcal{F}}_{t}^X | t \in T \}</math>
:<math>\tilde{\mathcal{F}}_{t}^X = \sigma \left( X_s \, ; \, \, 0 \leqslant s \leqslant t \right) = \sigma  \left(\left\{ X_s^{(-1)}(H) \, | \, 0 \leqslant s \leqslant t , \, \, H \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \right\}\right)</math>
那么<math>X</math>当然是适应于<math> \tilde{\mathcal{F}}^X</math>的过程，因为在每个时刻，<math>X</math>都是<math>\tilde{\mathcal{F}}_{t}^X</math>-可测的随机变量。自然参考族也是能使得<math>X</math>为适应变量的“最小”参考族。<math>X</math>适应于某个参考族<math> \mathcal{F}^r  = \{ \mathcal{F}_{t} | t \in T \}</math>，当且仅当在任何时刻<math>t \in T</math>，<math>\tilde{\mathcal{F}}_{t}^X \subseteq \mathcal{F}_{t}.</math>{{r|Pasc|page1=98}} 

设<math>X = \left( X_n \right)_{n\in \mathbb{N}}</math>是某彩票每期的开奖结果，那么<math>X</math>是一个适应随机过程，但不可能是一个[[可预测过程]]。

==参考来源==
{{reflist
|refs= 
<ref name="Cam">{{en}}{{cite book | title=''Brownian Motion'' | publisher=Cambridge University Press Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics | author=Peter Mörters, Yuval Peres | year=2010 |isbn=9780521760188}}</ref>
<ref name="Karatzas">{{en}}{{cite book|last=Karatzas|first=Ioannis|last2=Shreve|first2=Steven|year=1991|title=Brownian Motion and Stochastic Calculus|publisher=Springer|edition=2nd|isbn=0-387-97655-8}}</ref>

<ref name="Pasc">{{en}}{{cite book | title=''PDE and Martingale Methods in Option Pricing'' | url=https://archive.org/details/pdemartingalemet0000pasc | publisher=Springer |author=Pascucci, Andrea | year=2011 | location=Berlin | isbn=978-8847017801}}</ref> 
}}

[[Category:随机过程]]
[[Category:测度论]]