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對於一個在[[域_(数学)|體]] ''F'' ,[[向量空間]] ''V'' 中,''V'' × ''V'' → ''F'' 的[[雙線性形式]]''B''，如果''V''中存在一些非零的[[向量]]''<math>\,x </math>''使得对於任意<math>\,y \in V</math>有

: <math>B(x,y)=0\,</math>則稱B是一个'''退化双线性形式。'''

== 非退化双线性形式 ==
如果B是一个[[雙線性形式|双线性形式]]，但不是'''退化双线性形式'''，則B是一个非退化双线性形式。这意味着如果对於任意<math>y \in V</math>有

: <math>B(x,y)=0</math>

則<math>x = 0</math> 。

非退化双线性形式常見的例子是[[内积空间|内积]]和[[辛向量空间|辛形式]]。[[对称双线性形式|对称]]的非退化双线性形式是内积的推广，它只要求[[映射]]<math>V \to V^*</math>是[[同构]]的，而不要求非負。例如，在其[[切空间]]上具有内积结构的[[流形]]是一個[[黎曼流形]]，而将條件放寬到对称的非退化双线性形式時，則只是一個[[伪黎曼流形]]。

== 行列式 ==
如果''V''是有限维的，而B是一个雙線性形式，則考慮''V 的''一組[[基 (線性代數)|基底]]<math>\{e_1,\cdots\cdots,e_n\}</math>，定義矩陣A為

<math>A_{i,j}=B(e_i,e_j)</math>

則B是退化双线性形式[[若且惟若|若且唯若]]矩阵A的[[行列式]]为零 – 也就是A是不[[逆矩陣|可逆]]矩阵。

== 參見 ==

* [[雙線性形式]]

== 參考資料 ==

[[Category:泛函分析]]
[[Category:双线性形式]]