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在[[数学]]中，'''迹类算子'''（{{lang-en|Trace class}}）是一个满足如下条件的[[紧算子]]，可以为其定义[[跡|迹]]，使得迹有限且与基底的选择无关。迹类算子本质上与[[核型算子]]相同，但是许多作者将[[希尔伯特空间]]上的核型算子这一特殊情况称为“迹类算子”，而将“核型算子”用于更一般的[[巴拿赫空间]]。

== 定义 ==
模拟矩阵的定义，在[[可分空间|可分]][[希尔伯特空间]]''H''上的[[有界算子|有界线性算子]]''A''被称为属于'''迹类'''，如果对于''H''的所有[[标准正交基]]{''e''<sub>''k''</sub>}<sub>''k''</sub>
: <math>\|A\|_1= {\rm Tr}|A|:=\sum_k \langle (A^*A)^{1/2} \, e_k, e_k \rangle </math>
有限。此时
: <math>{\rm Tr} A:=\sum_k \langle A e_k, e_k \rangle</math>
[[绝对收敛]]且不依赖于标准正交基的选择。这个值被称为''A''的'''迹'''。当''H''是有限维空间时，每个线性算子都是迹类的，并且A的迹的定义与[[跡|矩阵的迹]]的定义一致。

如果A是非负[[自伴算子]]，我们也可以通过可能发散的求和将A的迹定义为扩展实数
: <math>\sum_{k} \langle A e_k, e_k \rangle. </math>

== 性质 ==
{| style="margin-bottom: 154px;" class="" cellpadding="2" cellspacing="0"
| valign="top" | '''1.''' 
| 如果A是非负自伴算子，当且仅当Tr(''A'')<&#x221E;时，A是迹类的。 因此，自伴算子A是迹类的，[[当且仅当]]其正部''A''<sup>+</sup>和负部''A''<sup>&#x2212;</sup>都是迹类的。 （自伴算子的正负部通过[[Continuous functional calculus|连续泛函演算]]得到。）
|-
| valign="top" | '''2.''' 
| 迹是迹类算子空间上的线性泛函，即 
: <math>\operatorname{Tr}(aA+bB)=a\,\operatorname{Tr}(A)+b\,\operatorname{Tr}(B)</math>。

双射
: <math> \langle A, B \rangle = \operatorname{Tr}(A^* B) </math>
是迹类算子空间上的[[内积空间|內积]]; 相应的范数被称为希尔伯特-施密特范数。 迹类算子在[[希尔伯特-施密特算子|希尔伯特-施密特]]范数意义下的完备化被称为希尔伯特-施密特算子。
|-
| valign="top" | '''3.'''
|如果<math>A</math>有界且<math>B</math>是迹类的，则<math>AB</math>和<math>BA</math>也是迹类的，且有<ref>M. Reed and B. Simon Functional Analysis, Exercises 27, 28 page 218</ref>

: <math> \|AB\|_1=\operatorname{Tr}(|AB|)\le \|A\|\|B\|_1,\qquad \|BA\|_1=\operatorname{Tr}(|BA|)\le \|A\|\|B\|_1</math>

此外，在同样的假设下，
: <math> \operatorname{Tr}(AB)=\operatorname{Tr}(BA)</math>
最后的断言在<math>A</math>和<math>B</math>都是希尔伯特-施密特算子这样较弱的假设下也成立。
|-
| valign="top" | '''4.''' 
|如果<math>A</math>是迹类的，则可以定义<math>1+A</math>的[[弗雷德霍姆行列式]]
: <math> {\rm det} (I+A):=\prod_{n\ge 1}[1+\lambda_n(A)]</math>

其中<math>\{\lambda_n(A)\}_n</math>是<math>A</math>的谱。<math>A</math>的迹类条件保证这一无限乘积是有限的：实际上

: <math> {\rm det} (I+A)\le e^{\|A\|_1}</math>。

这还意味着<math> {\rm det} (I+A)\neq 0</math>当且仅当<math> (I+A)</math>是可逆的。

|}

=== Lidskii定理 ===
令<math>A</math>是可分希尔伯特空间<math>H</math>中的迹类算子，并且令<math>\{\lambda_n(A)\}_{n=1}^N,</math> <math>N\leq \infty</math>为<math>A</math>的特征值。 假设<math>\lambda_n(A)</math>在计数时考虑了代数重数（即如果<math>\lambda</math>的代数重数为<math>k</math>，则<math>\lambda</math>在计数时被重复<math>k</math>次如<math>\lambda_1(A),\lambda_2(A),\dots</math>）。Lidskii定理（以[[Victor Borisovich Lidskii]]命名）指出
: <math>\sum_{n=1}^N \lambda_n(A)=\operatorname{Tr}(A)</math>。
注意到由于外尔不等式，左侧的数列绝对收敛 
: <math>\sum_{n=1}^N |\lambda_n(A)|\leq \sum_{m=1}^M s_m(A)</math>
在特征值<math>\{\lambda_n(A)\}_{n=1}^N</math>和紧算子<math>A</math>的奇异值<math>\{s_m(A)\}_{m=1}^M</math>之间。参见例如<ref>Simon, B. (2005) ''Trace ideals and their applications'', Second Edition, Amer. </ref>

=== 几类算子间的关系 ===


通过将迹类算子作为序列空间''l''<sup>1</sup>('''N''')的非交换类比，可以将某些类的有界算子视为经典[[Sequence space|序列空间]]的非交换类比。 

实际上，可以应用[[谱定理]]证明可分希尔伯特空间上的每个正规迹类算子可以以某种方式视作''l''<sup>1</sup>序列，通过对一对希尔伯特基底的某种选择来实现。 同样，有界算子是''l''<sup>&#x221E;</sup>('''N''')的非交换类比，[[Compact operator on Hilbert space|紧算子]]对应''c''<sub>0</sub>（序列收敛到0），希尔伯特-施密特算子对应于''l''<sup>2</sup>('''N''')，[[Finite-rank operator|有限秩算子]]对应只有有限多非零项的序列。 在某种程度上，这些类的算子之间的关系类似于它们的可交换类比之间的关系。

希尔伯特空间上的每个紧算子''T''都有如下标准型
: <math>\forall h \in H, \; T h =  \sum _{i = 1} \alpha_i \langle h, v_i\rangle u_i \quad \mbox{其中} \quad \alpha_i \geq 0 \quad \mbox{且} \quad \alpha_i \rightarrow 0 </math>
对于某组标准正交基{''u<sub>i</sub>''}和{''v<sub>i</sub>''}。为了使上述启发式评论更精确，如果序列&#x2211;<sub>''i''</sub>''&#x3B1;<sub>i</sub>''收敛，则有''T''是迹类的；如果&#x2211;<sub>''i''</sub>''&#x3B1;<sub>i</sub>''<sup>2</sup>收敛，''T''是希尔伯特-施密特算子；如果序列{''&#x3B1;<sub>i</sub>''}只有有限多非零项，''T''是有限秩的。

上述描述可以得到一些事实，将这些类算子联系起来。例如下述包含关系成立（包括''H''是无限维空间的情形）：{有限秩算子}&#x2282;{迹类算子}&#x2282;{希尔伯特-施密特算子}&#x2282;{紧算子}。

迹类算子赋有迹范数||''T''||<sub>1</sub>=Tr[(''T*T'')<sup>&#xBD;</sup>]=&#x2211;<sub>''i''</sub>''&#x3B1;<sub>i</sub>''。范数对应的希尔伯特-施密特内积是||''T''||<sub>2</sub>=(Tr''T*T'')<sup>&#xBD;</sup>=(&#x2211;<sub>''i''</sub>''&#x3B1;<sub>i</sub>''<sup>2</sup>)<sup>&#xBD;</sup>。一般的[[算子范数]]是||''T''|| = sup<sub>''i''</sub>(''&#x3B1;<sub>i</sub>'')。利用序列的经典不等式，
: <math>\|T\| \leq \|T\|_2 \leq \|T\|_1 ,</math>
对于适当的''T''。

清楚的是，有限秩算子在迹类算子空间和希尔伯特-施密特算子空间中在它们各自范数意义下稠密。

=== 迹类作为紧算子的对偶 ===
''c''<sub>0</sub>的对偶空间是''l''<sup>1</sup>('''N''')。类似的，紧算子的对偶空间记作''K''(''H'')*，是迹类算子，记作''C''<sub>1。</sub>下面的陈述与序列空间相对应。令''f''&#x2208;''K''(''H'')*，给出''f''的等价形式算子''T<sub>f</sub>''定义如下
: <math>\langle T_f x, y \rangle = f(S_{x,y}),</math>
其中''S''<sub>''x,y''</sub>是秩为1的算子，如下给定
: <math>S_{x,y}(h) = \langle h, y \rangle x.</math>
这一等式成立因为有限秩算子在''K''(''H'')中的范数意义下稠密。在''T<sub>f</sub>''是正算子的情况下，对于任意标准正交基''u<sub>i</sub>''，有
: <math>\sum_i \langle T_f u_i, u_i \rangle = f(I) \leq \|f\|,</math>
其中''I''是恒等算子
: <math>I = \sum_i \langle \cdot, u_i \rangle u_i .</math>
<span>这意味着</span>''T<sub>f</sub>''是迹类的。利用[[极分解]]可以将上述讨论拓展到一般情形，''T<sub>f</sub>''不需要是正算子。

通过对有限秩算子取极限可以证明||''T<sub>f</sub>''||<sub>1</sub>=||''f''||。因此''K''(''H'')*等距同构到''C''<sub>1</sub>。

=== 有界算子的预对偶 ===
''l''<sup>1</sup>('''N''')的对偶是''l''<sup>&#x221E;</sup>('''N''')。迹类算子''C''<sub>1</sub>的对偶是有界算子B(''H'')。更准确地说，集合''C''<sub>1</sub>是B(''H'')中的双边[[理想 (环论)|理想]]。因此，给定B(''H'')中任意算子''T''，可以通过&#x3C6;<sub>''T''</sub>(''A'')=Tr(''AT'')定义<math>C_1</math>上[[連續函數 (拓撲學)|连续]][[線性泛函|线性泛函]]&#x3C6;<sub>''T''</sub>。有界线性算子和<math>C_1</math>的对偶空间中的元素&#x3C6;<sub>''T''</sub>的对应关系是一个等距同构。因此，B(''H'')是<math>C_1</math>的对偶空间。这可以用于定义B(''H'')上的[[Weak-star operator topology|弱-*拓扑]]。

== 参考文献 ==
{{reflist}}
*{{citation|first=J|last=Dixmier|title=Les Algebres d'Operateurs dans l'Espace Hilbertien|publisher=Gauthier-Villars|location=|year=1969|isbn=}}
[[Category:算子理论]]
{{泛函分析}}
[[分类:数学概念]]