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{{NoteTA
|T=zh-hans:迭代函数;zh-hant:疊代函數;
|1=zh-hans:迭代;zh-hant:疊代;
}}

在[[数学]]中，'''迭代函数'''<ref>{{cite web |url = https://terms.naer.edu.tw/detail/1280857/ |website = 國家教育研究院辭書資訊網 |title = 疊代iteration |quote = 名詞解釋：指重複的一序列指令或事件；如程式的迴圈。 |access-date = 2021-11-07 |archive-date = 2021-11-08 |archive-url = https://web.archive.org/web/20211108204005/https://terms.naer.edu.tw/detail/1280857/ |dead-url = no }}</ref>是在[[碎形]]和[[动力系统]]中深入研究的对象。迭代函数是重复的与自身[[函数复合|复合]]的函数，这个过程叫做[[迭代]]。

==定义==
在[[集合 (數學)|集合]] <math>X</math> 上的迭代函数的形式定义为:

设 <math>X</math> 是集合和 <math>f:X\rightarrow X</math> 是[[函数]]。定义 <math>f</math> 的 <math>n</math> 次迭代 <math>f^n</math> 为 <math>f^0=\operatorname{id}_X</math> 而 <math>f^{n+1} = f \circ f^n</math>，这里的 <math>\operatorname{id}_X</math> 是在 <math>X</math> 上的[[恒等函数]]。

在上述中，<math>f \circ g</math> 指示[[函数复合]]；就是说 <math>(f \circ g)(x)=f(g(x))</math>。

換句話說，迭代函数也可以表示為以下的形式：

:<math>f^n(x)={\underbrace{f(f(f(...f(f}_n}(x))...)))</math>

<math>f^0(x)</math>定義為<math>x</math>。

<math>f^{-n}(x)</math>定義為<math>f^n(x)</math>的[[反函數]]。（如果<math>f^n(x)</math>的反函數不存在，則<math>f^{-n}(x)</math>也不存在）

因此，<math>f^1(x)</math>就是<math>f(x)</math>，<math>f^2(x)</math>是<math>f(f(x))</math>，<math>f^0(x)</math>是恆等函數<math>x</math>，<math>f^{-1}(x)</math>是<math>f(x)</math>的反函數（如果存在的話），而<math>f^{\frac{1}{2}}(x)</math>就是能夠使得[[合成函數]]<math>g(g(x))</math>正好是<math>f(x)</math>的函數<math>g(x)</math>。

注意，一般情況下，<math>f^n(x)</math>並不等於<math>(f(x))^n</math>或<math>f(x^n)</math>，而例如<math>\sin^{-1}(x)</math>是<math>\sin(x)</math>的反函數，亦即<math>\arcsin(x)</math>，而不是<math>\frac{1}{\sin(x)}=\csc(x)</math>。

== 例 ==
一些特殊函數的冪次為（其中<math>a</math>、<math>b</math>、<math>n</math>可為任意[[複數 (數學)|複數]]，亦即<math>a,b,n\in\mathbb{C}</math>）：

<math>f(x)=a</math>，<math>f^n(x)=a \text{ if } n \in \mathbb{R} \and n > 0, f^n(x)=x \text{ if } n = 0</math>（在<math>n</math>是負實數或虛數的時候並沒有定義，就好比<math>0^n</math>在<math>n</math>是負實數或虛數的時候也沒有定義）

<math>f(x)=x+a</math>，<math>f^n(x)=x+na</math>

<math>f(x)=ax</math>，<math>f^n(x)=a^nx</math>

<math>f(x)=x^a</math>，<math>f^n(x)=x^{a^n}</math>（注意[[迭代冪次]]要由右往左算）

<math>f(x)=ax+b</math>，<math>f^n(x)=a^nx+\frac{a^n-1}{a-1}b</math>（<math>a \neq 1</math>）

<math>f(x)=bx^a</math>，<math>f^n(x)=b^{\frac{a^n-1}{a-1}}x^{a^n}</math>（<math>a \neq 1</math>）

（注意任何非零複數的任何複數次方都有定義：<math>a^n=e^{n\ln a}=e^{\text{Re}(n\ln a)}(\cos(\text{Im}(n\ln a)+i\sin(\text{Im}(n\ln a))</math>，當<math>a</math>為負實數或虛數時，<math>\ln(a)=\ln(|a|)+i\text{arg}(a)</math>，其中<math>|a|</math>為複數<math>a</math>的[[絕對值]]，<math>\text{arg}(a)</math>為複數<math>a</math>的[[主幅角]]，<math>\text{Re}(a)</math>為複數<math>a</math>的[[實部]]，<math>\text{Im}(a)</math>為複數<math>a</math>的[[虛部]]）

函數冪亦有類似[[指數律]]的定理，其中<math>m</math>、<math>n</math>可為任意[[複數 (數學)|複數]]，亦即<math>m,n\in\mathbb{C}</math>：

<math>f^m(f^n(x))=f^{m+n}(x)</math>

<math>(f^m)^n(x)=f^{mn}(x)</math>

注意函數的合成是不可交換的（<math>gf(x)</math>並不一定等於<math>fg(x)</math>）但因為可結合（<math>h(gf)(x)</math>一定等於<math>(hg)f(x)</math>），所以會符合[[冪結合性]]，因此這兩條「函數冪的指數律」並沒有任何問題。

這跟例如[[指數]]拓展到次方為負整數、分數、無理數、複數，以及[[階乘]]運算跟[[排列組合]]運算<math>P^m_n</math>、<math>C^m_n</math>拓展到非整數和負數時（使用[[伽瑪函數]]）一樣，[[二項式定理]]也可以用這種方式拓展到負整數、分數、無理數、複數，只是會變成無窮級數而不再是有限級數而已，包括[[矩陣]]的<math>n</math>次方以及[[微分]]<math>n</math>次（<math>n</math>為負整數時等同於[[積分]]<math>-n</math>次），也都可以用這種方式，把<math>n</math>拓展到任意複數，或例如已知「首項」、「公差/公比」、「項數」的[[等差數列]]或[[等比數列]]要求出全部項的和或乘積的公式，也都可以用這種方式，拓展到項數為負整數、分數、無理數、複數的情況（包括一般的<math>\sum^n_{x=m}f(x)</math>與<math>\prod^n_{x=m}f(x)</math>中，<math>f(x)</math>為常見的函數如[[多項式函數]]、[[指數函數]]、[[對數函數]]、[[三角函數]]的時候，<math>m</math>跟<math>n</math>也能拓展到任意複數，就跟積分式<math>\int^n_m f(x)</math>一樣），至於[[超運算]]<math>a[n]b</math>能不能拓展到分數、無理數或複數，則是[[數學中未解決的問題]]之一。

==从迭代建立序列==

函数 <math>f^n</math> 的序列叫做 '''Picard 序列'''，得名于[[埃米尔·皮卡]]。对于一个给定 <math>x \in X</math>，<math>f^n(x)</math> 的值的序列叫做 <math>x</math> 的'''[[轨道 (动力学)|轨道]]'''。

如果对于某个整数 <math>m</math> 有 <math>f^n(x) = f^{n+m}(x)</math>，则轨道叫做'''周期轨道'''。对于给定 <math>x</math> 最小的这种 <math>m</math> 值叫做'''轨道的周期'''。点 <math>x</math> 自身叫[[周期点]]。

==不动点==

如果m=1，就是说如果对于某个''X''中的''x''有''f''(''x'') = ''x''，则''x''被称为迭代序列的'''[[不动点]]'''。不动点的集合经常指示为'''Fix'''（''f''）。存在一些[[不动点定理]]保证在各种情况下不动点的存在性，包括[[巴拿赫不动点定理]]和[[Brouwer不动点定理]]。

有很多技术通过{{le|不动点迭代|Fixed-point iteration}}产生了序列[[收敛加速]]。例如，应用于一个迭代不动点的[[Aitken方法]]叫做[[Steffensen方法]]，生成二次收敛。
不动点理论同样也适用于经济学领域。

==极限行为==

通过迭代，可以发现有向一个单一点收缩和会聚的一个集合。在这种情况下，会聚到的这个点叫做[[吸引不动点]]。反过来说，迭代也可以表现得从一个单一点发散；这种情况叫[[不稳定不动点]]。

当轨道的点会聚于一个或多个极限的时候，轨道的[[会聚点]]的集合叫做'''[[极限集合]]'''或 '''ω-极限集合'''。

吸引和排斥的想法类似推广；依据在迭代下小[[邻域]]行为，可把迭代分类为[[稳定流形|稳定集合]]和[[不稳定集合]]。

其他极限行为也有可能；比如，[[遊蕩集|游荡点]]是总是移动永不回到甚至接近起点的点。

==例子==
著名的迭代函数包括[[曼德博集合]]和[[迭代函数系统]]。

如果 ''f'' 是一个群元素在一个集合上的[[群作用|作用]]，则迭代函数对应于[[自由群]]。

==参见==
*{{le|旋转数|Rotation number}}
*{{le|Sarkovskii定理|Sharkovskii's theorem}}

==引用==
{{reflist}}
*Vasile I. Istratescu, ''Fixed Point Theory, An Introduction'', D.Reidel, Holland (1981).  ISBN 90-277-1224-7

[[Category:函数|D]]
[[Category:不动点|D]]
[[Category:分形|D]]
[[Category:动力系统|D]]
[[Category:序列]]