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在[[微分几何]]中，'''迪潘指标线'''（英语：Dupin indicatrix）是一个描述[[曲面]]局部形状的概念。通俗来讲，画一个平行于曲面上一点P的切平面并离切平面有微小距离的平面。考虑曲面与这个平面的交线，不难发现交线的形状与曲面在P点的[[高斯曲率]]有关。迪潘指标是平面接近切平面时极限过程的结果。该指标线的概念是19世纪法国数学家[[夏尔·迪潘]]发明的<ref>{{Cite journal |last=Kendall |first=John |date=2013-09-16 |title=Oxford Dictionary of National Biography |url=http://dx.doi.org/10.1108/rr-07-2013-0169 |journal=Reference Reviews |volume=27 |issue=7 |doi=10.1108/rr-07-2013-0169 |issn=0950-4125}}</ref>。

== 定义 ==
对于方程为<math>\boldsymbol{r}(u,v)</math>的曲面S，在曲面上一点P可作无数个法截线，每个法截线在P点的曲率为法曲率。

设<math>\kappa_{n}</math>是对应于截面方向d的法曲率，沿截面方向d作长度为<math>\frac{1}{\sqrt{|\kappa_{n}|}}</math>的线段PN，则对所有方向d，点N的集合为曲面在P点的迪潘指标线。

== 迪潘指标线的方程 ==

选取P为原点，<math>\boldsymbol{r}_{u}, \boldsymbol{r}_{v}</math> 为[[基向量]]，则它们可构成曲面S在P点的切平面上的笛卡尔[[坐标系]]。设N点坐标为<math>(x,y)</math>，法截线方向d的切向量为，可得到：

<math>x\boldsymbol {r}_{u}+y \boldsymbol {r}_{v}=\sqrt{\frac{1}{|\kappa_n|}}\frac{\operatorname{d}\!\boldsymbol {r}}{| \operatorname{d}\!\boldsymbol {r}|}
</math>.

代入<math>\kappa_{n}=\frac{\mathrm{II}}{\mathrm{I}}
</math>，经过化简有：<math>Lx^2+2Mxy+Ny^2=\pm1
</math>.

其中''L, M, N'' 是曲面[[第二基本形式]]，以上就是迪潘指标线的方程<ref>{{Cite book|title=微分几何|last=梅|first=向明|publisher=高等教育出版社|year=2007|isbn=978-7-04-023572-2}}</ref>。

== 应用 ==
从迪潘指标线的方程可知其表示以P点为中心的二次曲线，因此可以由二次曲线的类别对不同的P点进行分类：

# 如果 <math>LN-M^2>0</math>, 则此时迪潘指标线为椭圆，P点成为曲面的椭圆点。 
# 如果 <math>LN-M^2<0</math>, 则此时迪潘指标线为双曲线，P点成为曲面的双曲点。
# 如果 <math>LN-M^2=0</math>, 则此时迪潘指标线为一队平行直线，P点成为曲面的抛物点。
# 如果 <math>L=M=N=0</math>, 则此时迪潘指标线不存在，P点成为曲面的平点。

== 参见 ==

* [https://www.youtube.com/watch?v=Qa5t8IAqceQ 环面的迪潘指标线] {{Wayback|url=https://www.youtube.com/watch?v=Qa5t8IAqceQ |date=20230503094638 }}

== 参考资料 ==
<references />

== 外部連結 ==

{{DEFAULTSORT:Dupin}}

[[Category:曲面的微分几何]]
[[Category:曲線]]