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{{NoteTA|G1=Math}}
[[File:Connected and disconnected spaces.svg|thumb|250px|'''R'''² 的连通和不连通子空间。上面的空间 ''A'' 是连通的，下面的空间 ''B'' 是不连通的。]]
在[[拓扑学]]及相关的数学領域中，'''连通空间'''是指不能表示为两个或多个不相交的非空[[开集]]的并集的[[拓扑空间]]。



==定义==
如果[[拓扑空间]]<math>X</math>中存在兩個[[分离集合|分離]]的[[非空]][[开集]]<math>A,B</math>使得它們的[[并集]]等於<math>X</math>，則<math>X</math>被稱作'''不连通'''的，否則稱它是'''連通'''的。

對拓扑空间<math>X</math>，以下條件為等價的：
* <math>X</math>連通，即<math>X</math>不能表示为两个分離的非空开集的并集。
* <math>X</math>只有<math>\emptyset</math>和<math>X</math>這兩個平凡的[[閉開集]]。
* 所有從<math>X</math>到<math>\{0,1\}</math>的[[連續函數]]都是[[常數函數]]，其中空間<math>\{0,1\}</math>由兩點集的[[離散拓撲]]構成。

连通性是拓扑空间的一个拓扑不变性质，即如果两个[[同胚]]拓扑空间之一连通，则另一个空间也连通。

一些数学家承认[[空集]](按照它独有的拓扑)是连通空间，不过也有数学家不承认这一点。


==连通单元==
如果拓扑空间<math>X</math>的子集<math>A</math>诱导的[[子拓扑空间]]是连通的，則<math>A</math>被称为<math>X</math>的'''连通子集'''。

對拓撲空間<math>X</math>上的點<math>x</math>，所有包含<math>x</math>的連通子集的聯集
:<math>U_x = \bigcup_{S\text{連 通 },x\in S}S</math>
也是連通的。作為包含<math>x</math>的极大连通子集，<math>U_x</math>称作關於<math>x</math>的'''连通单元'''。

如果<math>X</math>的所有連通單元都是单元素集合，則稱<math>X</math>為'''完全不连通空间'''。

每个空间都能表成它的连通单元的不相交并集。

连通单元必為[[閉集]]，在一些理想的拓撲空间（如[[流形]]、[[代数簇]]）上同時是開集，但這不代表連通單元總是閉開集（例如完全不連通空間<math>\mathbb{Q}</math>，單元素集合在該空間中並非開集）。


==其它连通性定义==
===道路连通，弧连通===
[[File:Path-connected space.svg|thumb| '''R'''² 的这个子空间是道路连通的，因为在这个空间的任何两点之间可绘制一个道路。]]
:称拓扑空间X是'''[[道路 (拓扑学)|道路]]连通空间'''，当且仅当∀x,y∈X，存在连续函数<math>\gamma: [0,1] \to X</math> 使得 <math>\gamma(0)=x, \gamma(1)=y</math>。若<math>\gamma</math> 可取为使得 <math>[0,1] \to \gamma([0,1])</math> 为[[同胚]]，则称X为'''弧连通空间'''。

'''道路连通空间'''必定是'''连通空间'''，反之不一定。

道路连通的[[豪斯多夫空间]]必为弧连通空间。


=== 局部连通 ===
[[拓扑空间]]X称为'''局部连通'''的，当且仅当以下叙述之一成立：
*空间中的任一点都存在连通的邻域（即该邻域是X的连通子集）。
*空间的拓扑基完全由连通的集合组成。


== 例子 ==
*[[拓扑学家的正弦曲线]]：在平面[[欧几里得空间]]<math>\mathbb{R}^2</math>中定义集合<div style="vertical-align:-45%;display:inline;"><math>S = \{ (x, \sin\frac{1}{x} ) | x \in (0,1] \}</math></div>和<div style="vertical-align:-15%;display:inline;"><math>T = \{ (0, y) | y \in [0,1] \}</math></div>。考虑<math>S\cup T</math>在<math>\mathbb{R}^2</math>中诱导的子拓扑空间，它是连通的，但不是[[局部连通]]的。
*[[有理数]]：有理数集上的连通单元都是[[单元素集合]]，所以有理数集是一个完全不连通空间。


==性質==
* 拓撲空間<math>X</math>中帶有公共點<math>x \in X</math>的連通子集的聯集連通。
* 令<math>A</math>為拓撲空間<math>X</math>中的一個連通子集，則所有滿足<math>A \subset B \subset \overline{A}</math>的子集<math>B</math>皆為連通子集，其中<math>\overline{A}</math>為<math>A</math>的[[閉包]]。
* [[序拓撲]]中的連通子集都是[[凸集]]。
* [[實數]]<math>\mathbb{R}</math>是連通空間，它的所有（可以是無限）[[區間]]皆為連通子集。
* 對拓撲空間之間的[[連續函數]]<math>f: X \rightarrow Y</math>，<math>X</math>的連通子集在<math>f</math>下的[[像 (數學)|像]]是<math>Y</math>的連通子集。這是<math>\mathbb{R}</math>上[[中間值定理]]的推廣。
* 連通空間的有限[[積空間]]連通。<ref>Munkres, pp. 150-154.</ref>


==註釋==
{{reflist}}


==參考文獻==
{{refbegin}}
* {{cite book | author= Munkres, James R. | authorlink=James Munkres  | title=Topology, Second Edition | publisher=Prentice Hall | year=2000 | isbn=0-13-181629-2}}
*{{MathWorld|urlname=ConnectedSet|title=Connected Set}}
*{{Springer|title=Connected space |id=C/c025120 |author=V. I. Malykhin}}
*{{Cite journal|url=http://www.math.shimane-u.ac.jp/memoir/39/D.Buhagiar.pdf|last1=Muscat|first1=J|last2=Buhagiar|first2=D|title=Connective Spaces|journal=Mem. Fac. Sci. Eng. Shimane Univ., Series B: Math. Sc.|volume=39|year=2006|pages=1–13|ref=harv|postscript=<!--None-->|author=|access-date=2011-09-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20160304053949/http://www.math.shimane-u.ac.jp/memoir/39/D.Buhagiar.pdf|archive-date=2016-03-04|dead-url=yes}}.
{{refend}}

{{点集拓扑}}
[[Category:拓扑空间性质]]