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{{NoteTA
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{{Probability fundamentals}}
[[数学]]与[[统计学]]中，若一个定量[[变量]]通常由测量获得，则可能是'''连续'''的；若通常由[[计数]]获得，则可能是'''离散'''的。<ref>{{cite journal |last1=Ali |first1=Zulfiqar |last2=Bhaskar |first2=S. Bala |title=Basic statistical tools in research and data analysis |journal=Indian Journal of Anaesthesia |date=2016-09|volume=60 |issue=9 |page=662–669 |doi=10.4103/0019-5049.190623|doi-access=free|pmc=5037948 }}</ref>若变量可以取两个特定的[[实数|实]]值，且还可以取两者间所有实值（包括任意或无限接近的值），则变量在该[[区间]]内连续。<ref>{{cite journal |last1=Kaliyadan |first1=Feroze |last2=Kulkarni |first2=Vinay |title=Types of Variables, Descriptive Statistics, and Sample Size |journal=Indian Dermatology Online Journal |date=2019-01|volume=10 |issue=1 |pages=82–86 |doi=10.4103/idoj.IDOJ_468_18 |pmid=30775310 |pmc=6362742 |doi-access=free }}</ref>若变量可以取一个值，而其两侧各有非[[无穷小量|无穷小]]的间隙，其中没有可取的值，则称其在此值附近是离散的。<ref>K.D. Joshi, ''Foundations of Discrete Mathematics'', 1989, New Age International Limited, [https://books.google.com/books?id=RM1D3mFw2u0C&dq=continuous+discrete+variable+math&pg=PA7] {{Wayback|url=https://books.google.com/books?id=RM1D3mFw2u0C&dq=continuous+discrete+variable+math&pg=PA7 |date=20231216090515 }}, page 7.</ref>某些语境下，变量在[[数线]]的某些范围内是离散的，在另一些范围内则可以是连续的。

[[File:Continuous and discrete variables.png|thumb|upright=1.3|right|变量可分为两大类：定性变量（分类变量）与定量变量（数值变量）。连续变量与离散变量是定量变量的子类。注意此示意图没有穷尽所有类别。]]

==连续变量==
'''连续变量'''是由测量获得值的变量，即可以在[[不可数集]]上取值的变量。

例如，在[[实数]]的非空范围上取值的变量是连续的，因为在''a''与''b''之间的任何实数范围<math>a, b \in \mathbb{R}; a \neq b</math>都不可数，范围内有无限多值。<ref>{{cite journal |last1=Brzychczy |first1=Stanisaw |last2=Gorniewicz |first2=Lech |title=Continuous and discrete models of neural systems in infinite-dimensional abstract spaces |journal=Neurocomputing |date=2011 |volume=74 |issue=17 |page=2711-2715 |doi=10.1016/j.neucom.2010.11.005}}</ref>

[[微积分]]方法常用于连续变量问题，如连续[[最优化]]问题。<ref>{{Cite book |last1=Griva |first1=Igor |url=https://www.worldcat.org/oclc/236082842 |title=Linear and nonlinear optimization |last2=Nash |first2=Stephen |last3=Sofer |first3=Ariela |author3-link=Ariela Sofer |publisher=Society for Industrial and Applied Mathematics |year=2009 |isbn=978-0-89871-661-0 |edition=2nd |location=Philadelphia |pages=7 |language=en |oclc=236082842 |access-date=2024-02-10 |archive-date=2020-06-16 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200616160624/http://www.worldcat.org/oclc/236082842 |dead-url=no }}</ref>

[[统计学]]中，连续变量的[[概率分布]]可用[[概率密度函数]]（PDF）表示。<ref name="Springer Texts in Statistics">{{cite journal |last1=Dekking |first1=Frederik Michel |last2=Kraaikamp |first2=Cornelis |last3=Lopuhaä |first3=Hendrik Paul |last4=Meester |first4=Ludolf Erwin |date=2005 |title=A Modern Introduction to Probability and Statistics |url=https://doi.org/10.1007/1-84628-168-7 |journal=Springer Texts in Statistics |language=en |doi=10.1007/1-84628-168-7 |isbn=978-1-85233-896-1 |issn=1431-875X}}</ref>

[[连续时间]][[动力系统|动力学]]中，时间变量被视作连续的，描述变量随时间变化的方程是[[微分方程]]。<ref>{{cite journal |last1=Poyton |first1=A. A. |last2=Varziri |first2=Mohammad Saeed |last3=McAuley |first3=Kimberley B. |last4=MclellanPat James |first4=Pat James |last5=Ramsay |first5=James O. |title=Parameter estimation in continuous-time dynamic models using principal differential analysis |journal=Computers & Chemical Engineering |date=2006-02-15|volume=30 |issue=4 |page=698-708 |doi=10.1016/j.compchemeng.2005.11.008}}</ref>瞬时变化率是良定义的概念，是指在某特定瞬间，因变量与自变量的变化比。

[[File: Continuous or discrete variables example.jpg |thumb|upright=1.3|right|这是装有不同量液体的小瓶。瓶中液体的体积是连续变量，小瓶个数是离散变量。]]

==离散变量==
相对地，当且仅当变量值与[[自然数]]集<math>\mathbb{N}</math>存在一一对应关系时，才称此变量是'''离散变量'''。<ref>{{cite book |last1=Odifreddi |first1=Piergiorgio |title=Classical Recursion Theory: The Theory of Functions and Sets of Natural Numbers |date=1992-02-18|publisher=North Holland Publishing Company |isbn=978-0444894830 |page=18}}</ref>即，在某实值区间内的离散变量是这样的：对可取值区间内的任何值，与最近的其他可取值都有正的最小间距相隔。离散变量的值可由计数得到，可取值数量或是有限的，或是[[可数无限]]的。常见例子是[[整数]]、非负整数、正整数或只有0、1。<ref>{{cite book |last1=van Douwen |first1=Eric |title=Handbook of Set-Theoretic Topology |url=https://archive.org/details/handbookofsetthe0000unse_l5c2 |date=1984 |publisher=Elsevier |location=North Holland |isbn=978-0-444-86580-9 |pages=[https://archive.org/details/handbookofsetthe0000unse_l5c2/page/113 113]-167}}</ref>

微积分方法用于离散变量问题不太合适，特别是在多变量微积分中，很多模型都依赖于连续性假设。<ref>{{cite book |last1=Clogg |first1=Clifford C. |last2=Shockey |first2=James W. |title=Handbook of Multivariate Experimental Psychology |date=1988 |publisher=Springer Publishing Company |location=Boston, Massachusetts |isbn=978-1-4613-0893-5 |page=337-365}}</ref>离散变量问题如[[整数规划]]。

统计学中，离散变量的概率分布可用[[概率质量函数]]（PMF）表示。<ref name="Springer Texts in Statistics" />

[[离散时间]]动力学中，时间变量被视作离散的，描述变量随时间变化的方程是[[差分方程]]。<ref>{{cite book |last1=Thyagarajan |first1=K.S. |title=Introduction to Digital Signal Processing Using MATLAB with Application to Digital Communications |date=2019 |publisher=Springer Publishing Company |isbn=978-3319760285 |page=21-63 |edition=1}}</ref>某些离散时间动力系统的响应可通过求差分方程的解析解来模拟。

[[计量经济学]]与更广泛的[[回归分析]]中，有时一些[[经验证据|经验]]上相关的变量是0-1变量，只能取这两个值。<ref>{{cite journal |last1=Miller |first1=Jerry L.L. |last2=Erickson |first2=Maynard L. |title=On Dummy Variable Regression Analysis |url=https://archive.org/details/sim_sociological-methods-and-research_1974-05_2_4/page/395 |journal=Sociological Methods & Research |date=1974-05|volume=2 |issue=4 |page=395-519 |doi=10.1177/004912417400200402}}</ref>这是为了将虚拟变量用作一个开关，将它们分配给方程中的参数来“打开”或“关闭”。若[[自变量]]是虚拟变量，则通常采用[[逻辑回归]]或[[概率单位模型|概率单位回归]]。在回归分析中，虚拟变量可用于表示研究中的样本组（如0对应对照组的组成）。<ref>{{cite book |last1=Hardy |first1=Melissa A. |title=Regression with Dummy Variables (Quantitative Applications in the Social Sciences)  |url=https://archive.org/details/regressionwithdu0000hard |date=1993-02-25|publisher=Sage Publications, Inc. |location=Newbury Park |isbn=0803951280 |page=v |edition=1st}}</ref>

==混合==
混合多变量模型可同时包含离散与连续变量。例如，简单的混合多变量模型可以有只在0、1上取值的离散变量''x''，与连续变量''y''。<ref>{{cite journal |last1=Olkin |first1=Ingram |last2=Tate |first2=Robert |title=Multivariate Correlation Models with Mixed Discrete and Continuous Variables |url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematical-statistics_1961-06_32_2/page/448 |journal=The Annals of Mathematical Statistics |date=1961-06|volume=32 |issue=2 |page=448-465 |doi=10.1214/aoms/1177705052|doi-access=free }}</ref>混合模型的一个例子是基于精神症状的二元测量和认知表现的连续测量对心理失调风险的研究。<ref>{{cite journal |last1=Fitzmaurice |first1=Garrett M. |last2=Laird |first2=Nan M. |title=Regression Models for Mixed Discrete and Continuous Responses with Potentially Missing Values |url=https://archive.org/details/sim_biometrics_1997-03_53_1/page/110 |journal=Biometrics |date=1997-03|volume=53 |issue=1 |page=110-122 |doi=10.2307/2533101}}</ref>混合模型还可能涉及在数线的某范围内离散，而在另一范围内连续的单一变量。

概率论和统计学中，混合型随机变量的[[累积分布函数]]既不是离散的，也不是处处连续的。混合型随机变量的例子是排队等候时间的概率。顾客等待时间为零的可能性是离散的，而非零的等待时间是连续的。<ref>{{cite journal |last1=Sharma |first1=Shalendra D. |title=On a Continuous/Discrete Time Queueing System with Arrivals in Batches of Variable Size and Correlated Departures |journal=Journal of Applied Probability |date=1975-03|volume=12 |issue=1 |page=115-129 |doi=10.2307/3212413}}</ref>

==相關條目==
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* {{le|谱 (物质科学)|Spectrum (physical sciences)}}
* [[连续函数]]
* {{le|计数数据|Count data}}
* [[离散数学]]
* [[离散时间与连续时间]]
* [[连续时间随机过程]]
<!--* [[离散时间随机过程]]-->
* {{le|连续建模|Continuous modelling}}
* {{le|离散建模|Discrete_modelling}}
* {{le|连续几何学|Continuous geometry}}
* [[离散几何学]]
* {{le|主级数表示|Principal series representation}}
* {{le|离散级数表示|Discrete series representation}}
* [[离散化]]
* [[插值]]
* {{le|离散测度|Discrete measure}}
* [[离散空间]]
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==参考文献==
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[[Category:数学术语]]