查看“︁进位制”︁的源代码

{{NoteTA
|G1=IT
|G2=Electronics
|G3=Science
|1=zh-hans:进制;zh-hant:進制;
|2=zh-hans:进位;zh-hant:進位;
}}

'''进位制'''（carry system<ref>{{cite book |author1=Jun Wu |title=The Beauty of Mathematics in Computer Science |date=2018 |publisher=CRC Press |isbn=9781351689120 |page=7 |url=https://books.google.com/books?id=kouADwAAQBAJ&pg=PA7}}</ref><ref>{{cite book |author1=张劲燕 |title=電子電機工程英漢對照詞典 |date=2007 |publisher=五南圖書出版股份有限公司 |isbn=9789571145495 |page=360 |url=https://books.google.com/books?id=ek1pmIoQbVkC&pg=PA360}}</ref>）又称'''进-{制}-'''<ref>{{樂詞網|term =二進制 |urlid =79a86f13bf0d47aa1de46b168524d83d|access-date = }}</ref><ref>{{术语在线|term =二进制 |urlid =4fd1a1b626b111ee8685b068e6519520 |access-date = }}</ref>、'''進位系統'''<ref>{{樂詞網|term =進位系統 |urlid =b8f710a1179510abb4ebf110afa4daea|access-date = }}</ref>，是一种[[记数系统|记数制度]]、系統或方法；利用这种“[[记数法]]”，可以使用有限种的“[[數字]]符号”来表示所有的数值。'''進-{位}-'''（carry）則是傳送[[進位數]]之動作或過程<ref>{{樂詞網|term =進位 |urlid =6e05bf88a7edb122f6afabde591fe327|access-date = }}</ref>。

進位制，「進」表示在一個位值的數字達到基數後，將其重置為零並使高一位（位值）的數字加一。「位」代表位值（place value）。

进位制的其他名稱：'''位置记法'''<ref>{{樂詞網|term =位置记法位 |urlid =1596ab2bfa290d991bac63099bf1d616|access-date = }}</ref>（positional notation）、'''數字命位法'''<ref>{{樂詞網|term =數字命位法 |urlid =2315ecbaece0313cf362e02e68376cc6|access-date = }}</ref>、'''定位記法'''、'''进位记数法'''、'''位值记数法'''（place-value notation）、'''位置数值系统'''（positional numeral system）。

一种进位制中可以使用的數字符号的数目，称为这种进位制的[[基數 (進位記數法)|基数]]或[[底数 (进制)|底数]]。若一个进位制的基数为 <math>n</math>，即可称之为 <math>n</math>进位制，简称 <math>n</math>进-{制}-。现在最常用的进位制是[[十进制]]，这种进位制通常使用10个[[阿拉伯數字]]（即 0-9 ）进行记数。<ref>{{cite web | url=http://mall.cnki.net/magazine/Article/ZXSZ200812031.htm | title=浅谈进位制 | publisher=《中学数学杂志》2008年第12期 | accessdate=2012-12-29 | author=张彦;梁清华 | archive-date=2014-07-14 | archive-url=https://web.archive.org/web/20140714230416/http://mall.cnki.net/magazine/Article/ZXSZ200812031.htm | dead-url=no }}</ref>

我们可以用不同的进位制来表示同一个数。比如：[[十进制|十进数]]{{進制|10|57|sub=3}}，可以用[[二进制]]表示为{{進制|2|57|sub=3}}，也可以用[[五进制]]表示为{{進制|5|57|sub=3}}，同时也可以用[[八进制]]表示为{{進制|8|57|sub=3}}，可用[[十二进制]]表示為{{進制|12|57|sub=3}}，亦可用[[十六进制]]表示为{{進制|16|57|sub=3}}，它们所代表的数值都是一样的。

在10进-{制}-中有10个數字（0 - 9），比如：
:<math> 2506 = 2 \times 10^3 + 5 \times 10^2 + 0 \times 10^1 + 6 \times 10^0 </math>.
在16进-{制}-中有16个數字（0–9 和 A–F），比如：
:<math> 171B = 1 \times 16^3 + 7 \times 16^2 + 1 \times 16^1 + B \times 16^0 </math> (16進制中A代表10,B代表11,C代表12,D代表13,E代表14,F代表15）

一般说来，<math>b</math>进-{制}-有<math>b</math>个數字，如果<math> a_3, a_2, a_1, a_0 </math>是其中四个數字，那么就有
:<math> a_3 a_2 a_1 a_0 = a_3 \times b^3 + a_2 \times b^2 + a_1 \times b^1 + a_0 \times b^0 </math> (注意，<math> a_3 a_2 a_1 a_0 </math> 表示一个數字序列, 而不是數字的[[乘法|相乘]])

==常見進位制及其用途==
{| class="wikitable sortable"
! 底/基數
! 名稱
! 描述
|-
| [[10]] 
| [[十进制]]
| 世界上最常見的算術運算位進制系統，它是[[2]]和[[5]]的[[乘積]]，用於大多數機械計數器。其十位數字為 “0-9”。
|-
| [[12]]
| [[十二进制]]
| 因為有多個因數如2，[[3]]，[[4]]和[[6]]的易於整除性，它傳統上用以表示數量和總數，如一打即為十二個單位。十二位數字為“0-9”，接著是“A”和“B”。
|-
| [[20]]
| [[二十进制]]
| 因為有多個因數如2，[[4]]，[[5]]和[[10]]的易於整除性，在幾種傳統文化中的數字系統，仍然被用於計數。二十位數字為“0-9”，接著是“A-J”。
|-
| [[26]]
| [[二十六进制]]、[[雙射記數#%E9%9B%99%E5%B0%84%E4%BA%8C%E5%8D%81%E5%85%AD%E9%80%B2%E5%88%B6|双射二十六进制]]
| 这是一种使用26个拉丁字母来表示数的方法，Excel表格的列编号使用[[雙射記數#%E9%9B%99%E5%B0%84%E4%BA%8C%E5%8D%81%E5%85%AD%E9%80%B2%E5%88%B6|双射二十六进制]]<ref>{{Citation|title=雙射記數|url=https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%99%E5%B0%84%E8%A8%98%E6%95%B8#%E9%9B%99%E5%B0%84%E4%BA%8C%E5%8D%81%E5%85%AD%E9%80%B2%E5%88%B6|date=2023-11-27|accessdate=2025-02-24|language=zh}}</ref>。在普通二十六进制中，二十六位数字为“O-Z”，把O提前代表0，按照O、A、B……的顺序排列（O表示0、A表示1、B表示2……Z表示25、AO代表26、AA代表27……）；而在双射二十六进制中，二十六位数字为“A-Z”，A代表1、B代表2……Z代表26、AA代表27、AB代表28……，没办法表示0。所有英语单词（不区分大小写）都可以按照双射二十六进制转十进制的方法转换为自然数。
|-
|[[14]]
|[[十四进制]]
|用于[[扑克牌|撲克牌]]中，并可能用于某些小說中外星人的進制系統。十四位數字為“0-9”，接著是“A-D”。
|-
| [[2]]
| [[二进制]]
| 幾乎所有的[[电子計算機]]內部都使用二進位制，分別為“0”和“1”表示“關”和“開”。用於大多數[[電子計數器]]。
|-
|[[3]]
|[[三进制]]
|某些計算機中可能采用三進制而不是二進制<ref>{{Citation|title=三進位電腦|url=https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E9%80%B2%E4%BD%8D%E9%9B%BB%E8%85%A6|date=2022-11-09|accessdate=2025-02-23|language=zh}}</ref>（如[[Сетунь]]）。理論上這比二進制更高效。三位數字分别爲0、1、2，或者爲T、0、1（[[平衡三進制]]）。
|-
| [[16]]
| [[十六进制]]
| 經常用於計算機領域，2到4次[[冪]]。十六位數字為“0-9”，接著是“A-F”。
|-
| [[8]]
| [[八进制]]
| 偶爾用於計算機領域，2到3次冪。并可能用于某些小說中外星人的進制系統。八位數字為“0-7”。
|-
| [[60]]
| [[六十進制]]
| 起源於古代蘇美爾並傳給巴比倫人。六十成為3,4和5的乘積。今天用作現代[[圓形]][[坐標系]]（度，分，秒）和[[時間]][[測量]]（小時，分鐘和秒）的基礎。      
|-
|}

八进位制和十六进位制系统通常用于计算机領域，因为它们可方便當作二进位制的简写。十六进位制数字对应于四位二进位制数字的序列，因为十六是二的四次方; 例如，十六进位制 78<sub>16</sub> 是二进-{制}- 1111000<sub>2</sub>。八进位制数和二进位制的数字序列之间也有类似关系，因为八是二的立方。底數通常是[[自然数]]。 然而，其它位進制系统也是可能的。[[黄金进制|黄金比率底數]]（其底为非整数代
数）和负底數（其底为负数）。

==参考文獻==
<references/>
*{{Cite web
|last=O'Connor
|first=John
|last2=Robertson
|first2=Edmund
|title=Babylonian Numerals
|date=December 2000
|url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Babylonian_numerals.html
|accessdate=21 August 2010
|postscript=.
|archive-date=2014-09-11
|archive-url=https://web.archive.org/web/20140911192557/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Babylonian_numerals.html
|dead-url=no
}}
*{{Cite journal
|last=Kadvany
|first=John
|title=Positional Value and Linguistic Recursion
|journal=Journal of Indian Philosophy
|date=December 2007}}
*{{Cite book
|last=Knuth
|first=Donald
|authorlink=Donald Knuth
|title=The art of Computer Programming
|volume=2
|pages=195–213
|publisher=Addison-Wesley
|year=1997
|isbn=0-201-89684-2}}
*{{Cite book
|last=Ifrah
|first=George
|title=The Universal History of Numbers: From Prehistory to the Invention of the Computer
|url=https://archive.org/details/universalhistory0000ifra
|publisher=Wiley
|year=2000
|isbn=0-471-37568-3}}
*{{Cite book
|last=Kroeber
|first=Alfred
|authorlink=Alfred Kroeber
|title=Handbook of the Indians of California
|publisher=Courier Dover Publications
|year=1976
|origyear=1925
|page=176
|url=http://books.google.com/books?id=Plqf_OTz4ukC
|isbn=9780486233680
|access-date=2014-07-17
|archive-date=2016-05-05
|archive-url=https://web.archive.org/web/20160505132821/https://books.google.com/books?id=Plqf_OTz4ukC
|dead-url=no
}}

==參見==
{{Wikiversity|Category:進位制}}

==外部連結==
*[http://www.kwuntung.net/hkunit/base/base.php 进位转换器（网页版）] {{Wayback|url=http://www.kwuntung.net/hkunit/base/base.php |date=20140331185859 }}
*[https://web.archive.org/web/20170204004954/http://ultrastudio.org/en/MechengburakalkanApplet-1.7.zip Accurate Base Conversion]
*[https://web.archive.org/web/20120321111930/http://sciences.aum.edu/~sbrown/Hindu%20Arabic%20and%20Chinese.pdf The Development of Hindu Arabic and Traditional Chinese Arithmetics]
*[http://www.cut-the-knot.org/recurrence/conversion.shtml Implementation of Base Conversion] {{Wayback|url=http://www.cut-the-knot.org/recurrence/conversion.shtml |date=20110805065708 }} at [[cut-the-knot]]
*[http://www.intuitor.com/counting/ Learn to count other bases on your fingers] {{Wayback|url=http://www.intuitor.com/counting/ |date=20110808035532 }}
*[http://www.codeproject.com/Articles/350252/From-one-to-another-number-system/ From one to another number system] {{Wayback|url=http://www.codeproject.com/Articles/350252/From-one-to-another-number-system/ |date=20140726085420 }}
{{pns}}

[[Category:进位制| ]]
[[Category:數學表示法]]