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{{distinguish|算子|计算}}

在[[数学]]中，一个 '''运算''' 被定义为一个将一个或更多个输入值（或称 “[[運算數|运算数]]” 或 “参数”）对应到一个两定义的输出值的[[函数]]。这些运算数的个数被称为该运算的[[元数]]。

研究中最常见的运算是[[二元运算]]（也就是元数为 2 的运算）如[[加法]]、[[乘法]]，还有[[一元运算]]（也就是元数为 1 的运算）如[[加法逆元|加法逆]]、[[乘法逆元|乘法逆]]。而一个操作数为零的运算，或者说一个{{link-en|零元运算|nullary operation}}，是一个[[常数]]，这种运算在[[计算机科学]]中比较常见一些。<ref name=":1">{{Cite web|url=https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Algebraic_operation|title=Algebraic operation - Encyclopedia of Mathematics|website=www.encyclopediaofmath.org|access-date=2019-12-10|archive-date=2019-12-10|archive-url=https://web.archive.org/web/20191210045137/https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Algebraic_operation|dead-url=no}}</ref><ref>{{Cite web|url=http://www.math.hawaii.edu/~williamdemeo/latticetheory/Glossary.pdf|title=Universal Algebra Notes|last=DeMeo|first=William|date=August 26, 2010|website=math.hawaii.edu|access-date=2019-12-09|archive-date=2021-05-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20210519000135/http://www.math.hawaii.edu/~williamdemeo/latticetheory/Glossary.pdf|url-status=dead}}</ref>[[混合积]]是一个[[三元运算]]的例子。

通常而言一个运算的输入值是有限的，但有时也应当考虑{{link-en|无穷元运算|finitary operations}}<ref name=":1" />，这时，“通常的”输入值有限的运算就被归类为'''有限元运算'''了。

==运算的类型==
有两类常见的运算，[[一元运算|一元]]和[[二元运算]]。其中，一元运算仅涉及一个输入值，比如[[逻辑非]]或者[[三角函数]]等。<ref>{{mathworld|title=Unary Operation|id=UnaryOperation}}</ref>而对于以[[加法|加]]、[[减法|减]]、[[乘法|乘]]、[[除法|除]]以及[[幂]]为例的二元运算，则需要两个输入值<ref>{{mathworld|title=Binary Operation|id=BinaryOperation}}</ref>。

除却数字，运算也允许涉及其他数学对象。比如[[真值|逻辑真值]] “真” 和 “假” 就可以通过 “与”、“或”、“非” 这些[[逻辑运算|逻辑运算符]]连接并参与运算，其中 “与” 和 “或” 为二元运算，而“非”为一元运算；[[向量]]可以进行加减；<ref>{{mathworld|title=Vector|id=Vector}} ”向量能被加到一起（向量加法）、相减（向量减法）……“</ref> [[转动]]可以通过[[复合函数|函数复合]]进行运算，运算结果是先进行前一个旋转，接着进行后一个旋转的复合旋转。[[集合]]上的运算包括二元的[[交集|交]]、[[并集|并]]运算<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Union|url=https://mathworld.wolfram.com/Union.html|access-date=2020-07-27|website=mathworld.wolfram.com|language=en|archive-date=2024-12-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20241204003155/https://mathworld.wolfram.com/Union.html|dead-url=no}}</ref><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Intersection|url=https://mathworld.wolfram.com/Intersection.html|access-date=2020-07-27|website=mathworld.wolfram.com|language=en|archive-date=2024-12-01|archive-url=https://web.archive.org/web/20241201004256/https://mathworld.wolfram.com/Intersection.html|dead-url=no}}</ref><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Complementation|url=https://mathworld.wolfram.com/Complementation.html|access-date=2020-07-27|website=mathworld.wolfram.com|language=en|archive-date=2024-12-03|archive-url=https://web.archive.org/web/20241203062604/https://mathworld.wolfram.com/Complementation.html|dead-url=no}}</ref>；[[函数]]之间的运算有[[复合函数|函数复合]]、[[卷积]]等<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Composition|url=https://mathworld.wolfram.com/Composition.html|access-date=2020-07-27|website=mathworld.wolfram.com|language=en|archive-date=2021-02-24|archive-url=https://web.archive.org/web/20210224014502/https://mathworld.wolfram.com/Composition.html|dead-url=no}}</ref><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Convolution|url=https://mathworld.wolfram.com/Convolution.html|access-date=2020-07-27|website=mathworld.wolfram.com|language=en|archive-date=2002-01-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20020114175851/https://mathworld.wolfram.com/Convolution.html|dead-url=no}}</ref>。

作为一个函数，运算并不总对其[[域]]上的所有元定义良好。例如实数上对零做除法<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Division by Zero|url=https://mathworld.wolfram.com/DivisionbyZero.html|access-date=2020-07-27|website=mathworld.wolfram.com|language=en|archive-date=2024-12-03|archive-url=https://web.archive.org/web/20241203193355/https://mathworld.wolfram.com/DivisionbyZero.html|dead-url=no}}</ref>或者对负数开平方根就是不被允许的。所有能被运算的值构成一集合，记为该运算的[[定义域]]。对于整个定义域上的值，包含该运算作为函数导出的所有值的集合称作该运算的[[上域]]，而所有导出值本身构成的集合，称运算的[[像 (數學)|像]]或者[[值域]]<ref>{{mathworld|title=Coomain|id=Codomain}}</ref>。例如前文所述的实数平方根，其定义域即 <math>\mathbb{R}_{\ge0}</math>，值域也是 <math>\mathbb{R}_{\ge0}</math>，上域则是任意一个含有值域的集，此处可以为 <math>\mathbb{R}</math>；而实数的除法运算，定义域为 <math>\mathbb{R}\times\mathbb{R}_{\neq0}</math>，值域为 <math>\mathbb{R}_{\neq0}</math>。

此外，多元的运算可以涉及并不相似的元素：向量能够与[[标量]]进行[[数乘|数乘运算]]并得到另一个向量<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Scalar Multiplication|url=https://mathworld.wolfram.com/ScalarMultiplication.html|access-date=2020-07-27|website=mathworld.wolfram.com|language=en|archive-date=2024-12-02|archive-url=https://web.archive.org/web/20241202023229/https://mathworld.wolfram.com/ScalarMultiplication.html|dead-url=no}}</ref>；两个向量可以进行[[内积]]运算并最后得到一个标量<ref>{{Cite book|last1=Jain|first1=P. K.|url=https://books.google.com/books?id=yZ68h97pnAkC&pg=PA203|title=Functional Analysis|last2=Ahmad|first2=Khalil|last3=Ahuja|first3=Om P.|date=1995|publisher=New Age International|isbn=978-81-224-0801-0|language=en}}</ref><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Inner Product|url=https://mathworld.wolfram.com/InnerProduct.html|access-date=2020-07-27|website=mathworld.wolfram.com|language=en|archive-date=2024-12-03|archive-url=https://web.archive.org/web/20241203073124/https://mathworld.wolfram.com/InnerProduct.html|dead-url=no}}</ref>。一个运算有时也会被赋予一些额外属性如[[结合律]]、[[交换律]]、[[反交换律]]、[[幂等]]等。

这些参与运算的值被称作 “参数” 或 “输入”，而得到的值被称作 “值”、“结果” 或 “输出”。运算的元数可以是从 2 到 <math>\infty</math> 之间的任何整值<ref name=":1" />。

'''算符''' 与运算近似，指的是运算所使用的符号和过程，因而二者并不完全等同。“加法运算”常侧重于输入和输出两端，而“加法算符”（粗略而言，“加号”）则更聚焦于过程，以一种更形式化的说法，即映射 <math>+\colon X\times X\to X</math>。

==定义==
一个从 <math>X_1,\dots,X_n</math> 到 <math>Y</math>的 '''<math>n</math> 元运算''' <math>\omega</math> 被认定为映射 <div><math>\omega\colon X_1\times\cdots\times X_n\to Y.</math></div> 其中，集合 <math>X_1\times\cdots\times X_n</math> 称作运算的域，<math>Y</math>称作运算的上域，非负整数 <math>n</math>称作运算的[[元数]]。特别地，零元运算仅是上域 <math>Y</math>上的一个单一元素。值得指出，<math>n</math>元运算完全允许视作 <math>(n+1)</math>元[[关系 (数学)|关系]]，该关系对运算的域为全域的，对运算的上域则是唯一的。

一个从 <math>X_1,\dots,X_n</math> 到 <math>Y</math>的 '''<math>n</math> 元部分运算'''，其上域为 <math>X_1,\dots,X_n</math> 的任意子集。

以上叙述常称作 '''有限关系'''，参数有限。显然存在扩张，将元数认定为一个无穷[[序数]]或者无穷[[基数|基数]]，甚至是以任意集作为参数的指标集。

通常情况下，使用”运算“这个词暗含了域是上域的幂这个条件（即上域和自身的一个或更多副本的[[笛卡儿积]]）<ref>{{cite book|chapter=Chapter II, Definition 1.1|first1=S. N.|last1=Burris|first2=H. P.|last2=Sankappanavar|title=A Course in Universal Algebra|publisher=Springer|date=1981|url=http://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/ualg.html|access-date=2024-06-13|archive-date=2019-10-09|archive-url=https://web.archive.org/web/20191009044945/http://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/ualg.html|dead-url=no}}</ref>，这一性质并不绝对，就像[[内积]]运算，并不符合该描述：将两个向量点乘，结果是一个标量。一个 <math>n</math>元运算 <math>\omega\colon X^n\to X</math> 被称作'''内部运算'''；一个 <math>n</math>元运算 <math>\omega\colon X^i\times S\times X^{n-i-1}\to X</math>，其中<math>0\le i<n</math>，被称作由标量集或者算子集 <math>S</math> 构造的 '''外部运算'''。特别地，二元运算 <math>\omega\colon S\times X\to X</math> 称作由 <math>S</math> 决定的 '''左外部运算'''，相应地 <math>\omega\colon X\times S\to X</math>  称作由 <math>S</math> 决定的 '''右外部运算'''。

一个 '''<math>n</math> 元多值函数''' 或者 '''多值运算''' <math>\omega</math> 是一个从其笛卡儿积到其幂集的形如 <math>\omega\colon X^n\to\mathcal{P}(X)</math>的映射<ref>{{cite journal |last1=Brunner |first1=J. |last2=Drescher |first2=Th. |last3=Pöschel |first3=R. |last4=Seidel |first4=H. |date=Jan 1993 |title=Power algebras: clones and relations |url=https://wwwpub.zih.tu-dresden.de/~poesch-r/poePUBLICATIONSpdf/1993_Brunner_Dre_Poe_Sei.pdf |journal=EIK (Elektronische Informationsverarbeitung und Kybernetik) |volume=29 |issue= |pages=293-302 |doi= |access-date=2022-10-25 |archive-date=2024-05-02 |archive-url=https://web.archive.org/web/20240502212034/http://wwwpub.zih.tu-dresden.de/~poesch-r/poePUBLICATIONSpdf/1993_Brunner_Dre_Poe_Sei.pdf |dead-url=no }}</ref>。

==参见==
* {{link-en|有限元关系|finitary relation}}
* [[超运算]]
* [[中缀表示法]]
* [[算子]]
* [[操作数]]

==参考文献==
<references />

{{DEFAULTSORT:运算 (数学)}}
[[Category:元数学]]
[[Category:运算]]