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{{NoteTA|G1=Math}}
[[File:Abundant number Cuisenaire rods 12.png|thumb|275px|以[[古氏积木]]展示12是一個過剩數：[[真因數和|真因數之和]]超過自身]]
在[[數論]]中，'''過剩數'''又称作'''丰数'''或'''盈数'''，一般指的是[[真因數和|真因數之和]]大於自身的一类正整数，严格意义上指的是[[因數函數|因数和函数]]大於两倍自身的一类[[正整数]]。

== 定義 ==
=== 一般定义 ===
一般而言，過剩數是指使得函数 <math>s(n)>n</math> 的正整数 ''<math>n</math>''，其中 <math>s(n)</math> 指的是 ''<math>n</math>'' 的[[真因數和|真因數之和]]；<math>s(n)-n</math> 称作 ''<math>n</math>'' 的'''盈度'''或'''豐度'''。

例如，[[12]]除本身外的所有正因數为{{數列|[[$]]、 |1|3|divisor(12,x)}}[[4]]和[[6]]，由于 {{計算結果|{{數列|$+|1|4|divisor(12,x)}}6}}，且 ''<math>16>12</math>''，因此12為過剩數，且12的豐度為 ''{{計算結果|16-12}}''。

=== 严格定义 ===
更为严格地说，過剩數是指使得函数 <math>\sigma_1(n)>2n</math> 的正整数 ''<math>n</math>''，其中 <math>\sigma_1(n)</math> 指的是 ''<math>n</math>'' 的所有正因数（包括 ''<math>n</math>''）之和；<math>\sigma_1(n)-2n</math> 称作 ''<math>n</math>'' 的'''盈度'''或'''豐度'''。

在这种定义下，[[12]]的正因數有{{數列|$、 |1|4|divisor(12,x)}}6和12，由于 {{計算結果|{{數列|$+|1|5|divisor(12,x)}}12}}，且 ''<math>28>12\times2</math>''，因此12為過剩數，且12的豐度為 ''{{計算結果|28-12*2}}''。

== 性質 ==
*最小的偶過剩數构成数列{{OEIS|A005101}}：
::{{數列|[[$]]、 |1|22|findnext(:n↦abs(divisorsigma(1, n)) > abs(2*n);,last(1))|last1=11}}[[102]] ……
*最小的奇過剩數构成数列{{OEIS|A005231}}：
::945、 1575、 2205、 2835、 3465、 4095、 4725、 5355、 5775、 5985、 6435、 6615、 6825、 7245、 7425、 7875 ……
*不能被2和3整除的最小過剩數是 5391411025，其[[質因數]]有 {{數列|$、 |1|6|primedivisor(5391411025,x)}}23 和 29{{OEIS|id=A047802}}。
*亞努奇（Iannucci）在2005年給出了一個尋找不能被前<math>k</math>個質數整除的最小過剩數的演算法<ref>{{citation|author=D. Iannucci|title=On the smallest abundant number not divisible by the first ''k'' primes|journal={{link-en|Bulletin of the Belgian Mathematical Society}}|volume=12|issue=1|year=2005|pages=39–44|url=http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.bbms%2F1113318127|accessdate=2022-09-21|archive-date=2019-04-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20190407204849/https://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.bbms%2F1113318127|dead-url=no}}</ref>：若 <math>A(k)</math> 表示不能被前 <math>k</math> 個質數整除的最小過剩數，則當 <math>k</math> 足夠大時，對所有的 <math>\epsilon>0</math>，有
::<math> (1-\epsilon)(k\ln k)^{2-\epsilon}<\ln A(k)<(1+\epsilon)(k\ln k)^{2+\epsilon} </math> 
*除了[[完全數]]本身，[[完全數]]的[[倍數]]都是過剩數{{#tag:ref|Tattersall (2005)<ref name="Tattersall">{{cite book | title=Elementary Number Theory in Nine Chapters | url=https://archive.org/details/elementarynumber0000jame | first=James J. | last=Tattersall | edition=2nd | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=2005 | isbn=978-0-521-85014-8 | zbl=1071.11002 }}</ref>, p.134|name=Tat134}}。例如，每個大於6之6的倍數都是過剩數，因為 <math>1 + \tfrac{n}{2} + \tfrac{n}{3} + \tfrac{n}{6} = n +1</math>。
*過剩數的[[倍數]]都是過剩數<ref name="Tat134"/>。例如，20是過剩數，20及其倍數也都是過剩數，因為 <math>\tfrac{n}{2} + \tfrac{n}{4} + \tfrac{n}{5} + \tfrac{n}{10} + \tfrac{n}{20}= n + \tfrac{n}{10}</math>。
*由於[[完全數]]的[[倍數]]都是過剩數，過剩數的[[倍數]]也都是過剩數<ref name="Tat134" />，因此[[奇數和偶數]]的過剩數都有無限多個。
[[File:Proportion of abundant numbers.svg|thumb|<math>a(n)/n</math>在<math>n < 10^6</math>的分布情況（對數尺度）。其中<math>a(n)</math>為不超過<math>n</math>的過剩數個數。]]
*過剩數的集合具有非零的[[自然密度]]<ref name=HT95>{{cite book | zbl=0653.10001 | last1=Hall | first1=Richard R. | last2= Tenenbaum | first2=Gérald | title=Divisors | series=Cambridge Tracts in Mathematics | volume=90 | location =Cambridge | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=1988 | isbn=978-0-521-34056-4 | page=95 }}</ref>，1998年 Marc Deléglise 证明了過剩數在自然数中的[[自然密度]]介于 0.2474 与 0.2480 之间<ref name=Del1998>{{cite journal | first=Marc | last=Deléglise | title=Bounds for the density of abundant integers | journal=Experimental Mathematics | volume=7 | issue=2 | year=1998 | pages=137–143 | url=http://projecteuclid.org/euclid.em/1048515661 | mr=1677091 | zbl=0923.11127 | issn=1058-6458 | doi=10.1080/10586458.1998.10504363 | citeseerx=10.1.1.36.8272 | access-date=2022-09-21 | archive-date=2020-10-13 | archive-url=https://web.archive.org/web/20201013184224/https://projecteuclid.org/euclid.em/1048515661 | dead-url=no }}</ref>。
*若一個過剩數不是[[完全數]]或其他過剩數的倍數，則這個數稱為[[本原過剩數]]<ref>{{cite mathworld|title=Primitive Abundant Number|urlname=PrimitiveAbundantNumber}}</ref><ref>Erdős adopts a wider definition that requires a primitive abundant number to be not deficient, but not necessarily abundant (Erdős, Surányi and Guiduli. ''Topics in the Theory of Numbers'' p214. Springer 2003.). The Erdős definition allows [[完全數|perfect number]]s to be primitive abundant numbers too.</ref>。
*若一個過剩數的豐度超過所有小於該數的過剩數的豐度，則這個過剩數稱為[[高過剩數]]。
*若一個過剩數的相對豐度 <math>\frac{s\left(n\right)}{n}</math> 超過所有小於該數的過剩數的豐度，則這個過剩數稱為[[超過剩數]]。
*每個大於 20161 的整數都可以寫成兩個過剩數之和<ref>{{Cite OEIS|sequencenumber=A048242|name=Numbers that are not the sum of two abundant numbers}}</ref>。
*不是[[半完全數]]的過剩數稱為[[奇異數 (數論)|奇異數]]<ref>
{{cite journal
  | last =Benkoski
  | first =Stan
  | authorlink =
  | coauthors =
  | title =E2308（in Problems and Solutions）
  | journal =The American Mathematical Monthly
  | volume =79
  | issue =7
  | pages =774
  | date =Aug.-September 1972
  | doi =10.2307/2316276
}}
</ref><ref name="Tattersall"/>{{rp|144}}。
*豐度為1的過剩數稱為[[准完全数]]，然而目前尚未找到准完全数<ref>{{cite journal|last1=Hagis|first1=Peter |last2=Cohen|first2=Graeme L.|title=Some results concerning quasiperfect numbers|journal=J. Austral. Math. Soc. Ser. A|volume=33|year=1982|pages=275–286|doi=10.1017/S1446788700018401|issue=2|mr=0668448}}</ref>。

== 相關概念 ==
[[File:Euler_diagram_numbers_with_many_divisors.svg|thumb|{{{1|right}}}|低於100的過剩數、[[本原過剩數]]、[[高過剩數]]、[[超過剩數]]、[[可羅薩里過剩數]]、[[高合成数]]、{{link-wd|Q12355440}}、[[奇異數 (數論)|奇異數]]和[[完全数]]與[[亏数]]和[[合数]]關係的[[欧拉图]]]]

* 与過剩數相关的概念是[[完全数]]（真因數和等於本身，即 <math>s(n)=n</math> 或 <math>\sigma_1(n)=2n</math>）和[[亏数]]（真因數和小於本身，即 <math>s(n)<n</math> 或 <math>\sigma_1(n)<2n</math>）。最早将自然数分为过剩数、完美数和亏数的是 Nicomachus 于公元前100年所著的 Introductio Arithmetica。
* ''<math>n</math>'' 的豐度指數（過過剩指數）是指因數和與自身的比，即 <math>\frac{\sigma_1\left(n\right)}{n}</math><ref>{{cite journal | last=Laatsch | first=Richard | title=Measuring the abundancy of integers | journal={{link-en|Mathematics Magazine}} | volume=59 | number=2 | pages=84–92 | year=1986 | issn=0025-570X | zbl=0601.10003 |jstor=2690424 |mr=0835144 | doi=10.2307/2690424}}</ref>；若一组相異的數 ''<math>n_1, n_2, ...</math>''（無論是否為過剩數）擁有相同的豐度指數，則這些數互為[[友誼數]]。
* 记 ''<math>k</math>'' 变化时，滿足 <math>\sigma_1\left(n\right)>kn</math> 的最小自然数 ''<math>n</math>'' 构成数列 <math>a_k</math>{{OEIS|A134716}}，则 <math>a_2=12</math>，为第一個過剩數<ref>{{Cite OEIS|sequencenumber=A134716|name=a(n) = least number m such that sigma(m)/m > n}}</ref>。<math>a_k</math> 是一个增長速度很快的数列。
* 豐度指數超過3的最小奇數為 <math>1018976683725=</math> {{質因數分解|1018976683725}}<ref>{{Cite OEIS|sequencenumber=A119240|name=Least odd number ''k'' such that sigma(k)/k >= n.}}</ref>。

==参见==
*[[高合成數]]
*[[完全數]]
*[[婚約數]]
*[[親和數]]
*[[亏数]]
*[[梅森素数]]
*[[半完全數]]
*[[佩服數]]

==參考文獻==
{{Reflist}}

{{Divisor classes navbox}}
[[Category:整数数列|G]]