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在经典[[电动力学]]中，将描述[[电磁波]]的势所满足的一个[[微分方程]]组称作'''达朗贝尔方程'''（英文：'''d'Alembert equation'''）。达朗贝尔方程以数学家[[让·勒朗·达朗贝尔]]的名字命名，他于 1747 年将其作为振动弦问题的解决方案推导出来。

达朗贝尔方程是一个{{le|非齐次|Homogeneity and heterogeneity}}的[[波动方程]]。<ref name="a1">郭硕鸿. 《电动力学（第三版）》. 北京: 高等教育出版社. 2008. ISBN 978-7-04-023924-9.</ref>

==形式==
达朗贝尔方程的形式如下：
:<math>\boldsymbol{\nabla}^{2}\boldsymbol{A}-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\boldsymbol{A}}{\partial t^{2}}=-\mu_{0}\boldsymbol{J}</math>
:<math>\boldsymbol{\nabla}^{2}\varphi-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial t^{2}}=-\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}</math>

其中<math>\boldsymbol{A}</math>为[[磁矢势]]，<math>\varphi</math>为[[电势]]，<math>c</math>为[[光速|真空光速]]。<ref name="a1"></ref>

==推导==
经典电动力学中的[[麦克斯韦方程组]]如下所示
:<math>\boldsymbol{\nabla}\times \boldsymbol{E}=-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}</math>
:<math>\boldsymbol{\nabla}\times \boldsymbol{H}=\frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t}+\boldsymbol{J}</math>
:<math>\boldsymbol{\nabla}\cdot \boldsymbol{D}=\rho</math>
:<math>\boldsymbol{\nabla}\cdot \boldsymbol{B}=0</math>

且有<math>\boldsymbol{D}=\varepsilon_{0}\boldsymbol{E}, \boldsymbol{B}=\mu_{0}\boldsymbol{H}</math>。

由<math>\boldsymbol{B}</math>的[[散度|无源性]]可以引入磁矢势<math>\boldsymbol{A}</math>，有<math>\boldsymbol{B}=\boldsymbol{\nabla}\times \boldsymbol{A}</math>，代入麦克斯韦方程组的第一式得<math>\boldsymbol{\nabla}\times \left(\boldsymbol{E}+\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}\right)=0</math>。这说明[[矢量]]<math>\boldsymbol{E}+\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}</math>是[[无旋场]]，可以用[[标量势]]<math>\varphi</math>的负[[梯度]]描述：
:<math>\boldsymbol{E}+\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}=-\boldsymbol{\nabla}\varphi</math>

也即<math>\boldsymbol{E}=-\boldsymbol{\nabla}\varphi-\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}</math>。

因此
:<math>\boldsymbol{\nabla}\times\left(\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{A}\right)=\mu_{0}\boldsymbol{J}-\mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{\partial}{\partial t}\left(\boldsymbol{\nabla}\varphi\right)-\mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{\partial^{2}\boldsymbol{A}}{\partial t^{2}}</math>
:<math>-\boldsymbol{\nabla}^{2}\varphi-\frac{\partial}{\partial t}\left(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}\right)=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}</math>

而<math>\mu_{0}\varepsilon_{0}=\frac{1}{c^2}</math>，代入并整理得
:<math>\boldsymbol{\nabla}^{2}\boldsymbol{A}-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\boldsymbol{A}}{\partial t^{2}}-\boldsymbol{\nabla}\left(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}+\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial\varphi}{\partial t}\right)=-\mu_{0}\boldsymbol{J}</math>
:<math>\boldsymbol{\nabla}^{2}\varphi+\frac{\partial}{\partial t}\left(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}\right)=-\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}</math>

采用[[洛伦茨规范]]，即<math>\boldsymbol{\nabla}\cdot \boldsymbol{A}+\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial\varphi}{\partial t}=0</math>，可得
:<math>\boldsymbol{\nabla}^{2}\boldsymbol{A}-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\boldsymbol{A}}{\partial t^{2}}=-\mu_{0}\boldsymbol{J}</math>
:<math>\boldsymbol{\nabla}^{2}\varphi-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial t^{2}}=-\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}</math>

此即达朗贝尔方程，其自由项为[[电流密度]]和[[电荷密度]]。

==参考资料==
{{Reflist}}

[[Category:电磁学]]