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{{微积分学}}
在[[实分析]]或[[数学分析]]中，'''达布积分'''（{{Lang-en|Darboux integral|links=no}}）是一种定义一个函数的[[积分]]的方法，它是通过'''达布和'''构造的。达布积分和黎曼积分是等价的，也就是说，一个实值函数是达布可积的当且仅当它是黎曼可积的，并且积分的值相等。达布积分的定义比黎曼积分简单，并且更具操作性。达布积分的名字来自于数学家[[讓·加斯東·達布|让·加斯东·达布]]。

== 区间的分割 ==

一个[[闭区间]]<math>[a,b]</math>的一个'''分割'''是指在此区间中取一个有限的点列<math>a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_n = b</math>。每个闭区间<math>[x_i, x_{i+1}]</math>叫做一个'''子区间'''。定义<math>\lambda </math> 为这些子区间长度的最大值：<math>\lambda = \max (x_{i+1}-x_i)</math>，其中<math>0 \le i \le n - 1 </math>。

再定义'''取样分割'''。一个[[闭区间]]<math>[a,b]</math>的一个取样分割是指在进行分割<math>a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_n = b</math>后，于每一个子区间中<math>[x_i, x_{i+1}]</math>取出一点 <math>x_i \le t_i \le x_{i+1}</math>。<math>\lambda </math>的定义同上。

'''精细化分割'''：设<math>x_0,\ldots,x_n</math>以及<math>t_0,\ldots,t_{n-1}</math>构成了[[闭区间]]<math>[a,b]</math>的一个取样分割，<math>y_0,\ldots,y_m</math>和<math>s_0,\ldots,s_{m-1}</math>是另一个分割。如果对于任意<math>0 \le i \le n</math>，都存在<math>r(i)</math>使得<math>x_i = y_{r(i)}</math>，并存在<math>r(i) \le j \le r(i+1)</math>使得<math>t_i = s_j</math>，那么就把分割：<math>y_0,\ldots,y_m</math>、<math>s_0,\ldots,s_{m-1}</math>称作分割<math>x_0,\ldots,x_n</math>、<math>t_0,\ldots,t_{n-1}</math>的一个'''精细化分割'''。简单来说，就是说后一个分割是在前一个分割的基础上添加一些分点和标记。

于是我们可以在此区间的所有取样分割中定义一个[[偏序关系]]，称作“精细”。如果一个分割是另外一个分割的精细化分割，就说前者比后者更“精细”。

==达布和==

设<math>f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}</math> 为一个有界函数，又设

:<math>P : x_0, \ldots, x_n</math> 

是闭区间<math>[a,b]</math>的一个分割。令:

:<math>M_i = \sup_{x\in[x_{i-1},x_{i}]} f(x)</math>
:<math>m_i = \inf_{x\in[x_{i-1},x_{i}]} f(x)</math>

[[File:Darboux.svg|thumb|right|下（绿色）和上（淡紫色）达布和]]

<math>f</math>在分割<math>P</math>下的'''上达布和'''定义为：
:<math>U_{f, P} = \sum_{i=1}^n M_i (x_{i}-x_{i-1})</math>

同样的有'''下达布和'''的定义：

:<math>L_{f, P} = \sum_{i=1}^n m_i (x_{i}-x_{i-1})</math>

<math>f</math>的'''上达布积分'''指的是所有上达布和的[[下确界]]： 

:<math>U_f = \inf\{U_{f,P} : P </math>是闭区间<math>[a,b]</math>的一个分割<math>\; \}</math>

同样的<math>f</math>的'''下达布积分'''指的是所有下达布和的[[上确界]]： 

:<math>L_f = \sup\{L_{f,P} : P </math>是闭区间<math>[a,b]</math>的一个分割<math>\; \}</math>

如果<math>U_f=L_f</math>那么<math>f</math>就称作'''达布可积'''的，并用<math>\int_a^b{f(t)\,dt}</math>表示，记作<math>f</math>在区间<math>[a,b]</math>的达布积分。

== 性质 ==
*对于任何给定的分割，上达布和永远大于等于下达布和。此外，下达布和被限制在以<math>b-a</math>为宽，以<math>\mathrm{inf}(f)</math>为高的矩形下，占据<math>[a,b]</math>。同样，上达布和被限制在以''<math>b-a</math>''为宽，以<math>\mathrm{sup}(f)</math>为高的矩形上。

:<math>(b-a)\inf_{x \in [a,b]} f(x) \leq L_{f,P} \leq U_{f,P} \leq (b-a)\sup_{x \in [a,b]} f(x)</math>

*下达布和和上达布和满足

:<math>\underline{\int_{a}^{b}} f(x) \, dx  \leq \overline{\int_{a}^{b}} f(x) \, dx </math>

*对处于<math>(a,b)</math>的任意<math>c</math>

:<math>\begin{align}
\underline{\int_{a}^{b}} f(x) \, dx  &= \underline{\int_{a}^{c}} f(x) \, dx +   \underline{\int_{c}^{b}} f(x) \, dx\\
\overline{\int_{a}^{b}} f(x) \, dx  &= \overline{\int_{a}^{c}} f(x) \, dx +   \overline{\int_{c}^{b}} f(x) \, dx
\end{align}</math>

*下达布积分和上达布积分不必要是线性的。令<math>g:[a,b]\rightarrow R</math>是一个有界函数，则上达布积分和下达布积分满足下面的不等关系。

:<math>\begin{align}
\underline{\int_{a}^{b}} f(x) \, dx + \underline{\int_{a}^{b}} g(x) \, dx &\leq \underline{\int_{a}^{b}} f(x) + g(x) \, dx\\ 
\overline{\int_{a}^{b}} f(x) \, dx + \overline{\int_{a}^{b}} g(x) \, dx &\geq \overline{\int_{a}^{b}} f(x) + g(x) \, dx 
\end{align}</math>

*对于一个常数<math>c\geq 0</math>我们有

:<math>\begin{align}
\underline{\int_{a}^{b}} cf(x) &= c\underline{\int_{a}^{b}} f(x)\\
\overline{\int_{a}^{b}} cf(x) &= c\overline{\int_{a}^{b}} f(x)
\end{align}</math>

*对于一个常数<math>c\leq 0</math>我们有

:<math>\begin{align}
\underline{\int_{a}^{b}} cf(x) &= c\overline{\int_{a}^{b}} f(x)\\
\overline{\int_{a}^{b}} cf(x) &= c\underline{\int_{a}^{b}} f(x)
\end{align}</math>

*考虑函数<math>F:[a,b]\rightarrow R</math>定义为

:<math> F(x) = \underline{\int_{a}^{x}} f(x) \, dx </math>
那么<math>F</math>是[[利普希茨连续]]的。当''<math>F</math>''是用达布积分定义的，一个相似的结论也成立。

== 例子 ==
=== 一个达布可积函数 ===

假设我们想证明函数<math>f(x) = x</math>在区间<math>[0,1]</math>上是达布可积的，并且确定它的值。我们需要把区间<math>[0,1]</math>分割为<math>n</math>个等大的子区间，每个区间长度为<math>\frac{1}{n}</math>。我们取''<math>n</math>''个等大的子区间中一个作为''<math>P_n</math>''。

现在因为''<math>f(x) = x</math>''在<math>[0,1]</math>上严格单增，在任意一个特定子区间上的下确界即它的起点。同样，在任意一个特定子区间上的上确界即它的终点。在''<math>P_n</math>''中第<math>k</math>个子区间的起点是<math>\frac{k-1}{n}</math>，终点是<math>\frac{k}{n}</math>。那么在一个分割''<math>P_n</math>''上的下达布和就是

:<math>\begin{align}
L_{f,P_n} &= \sum_{k = 1}^{n} f(x_{k-1})(x_{k} - x_{k-1})\\
         &= \sum_{k = 1}^{n} \frac{k-1}{n} \cdot \frac{1}{n}\\
         &= \frac{1}{n^2} \sum_{k = 1}^{n} [k-1]\\ 
         &= \frac{1}{n^2}\left[ \frac{(n-1)n}{2} \right]
\end{align}</math>

类似地，上达布和为

:<math>\begin{align}
U_{f,P_n} &= \sum_{k = 1}^{n} f(x_{k})(x_{k} - x_{k-1})\\
         &= \sum_{k = 1}^{n} \frac{k}{n} \cdot \frac{1}{n}\\
         &= \frac{1}{n^2} \sum_{k = 1}^{n} k\\ 
         &= \frac{1}{n^2}\left[ \frac{(n+1)n}{2} \right]
\end{align}</math>

由于
:<math>\begin{align}
U_{f,P_n} - L_{f,P_n} &= \frac{1}{n}
\end{align}</math>
则对于任意<math>\varepsilon>0</math>，我们得到对于<math>n>\frac{1}{\varepsilon}</math>的任何分割<math>P_n</math>都满足
:<math>\begin{align}
U_{f,P_n} - L_{f,P_n} &< \epsilon
\end{align}</math>
得证<math>f</math>是达布可积的。要找到这个积分的值需要注意到

:<math>\begin{align}
\int_{0}^{1}f(x) \, dx &= \lim_{n \to \infty} U_{f,P_n} =\lim_{n \to \infty} L_{f,P_n}  = \frac{1}{2}
\end{align}</math>

=== 一个不可积函数 ===

如果我们有函数<math>f:[0,1]\rightarrow R</math>定义为
:<math>\begin{align}
f(x) &=
 \begin{cases}
 0, x\in\mathbb{Q} \\
 1, x\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}
 \end{cases}
\end{align}</math>
由于有理数和无理数都是'''R'''的[[稠密子集]]，因而断定<math>f</math>在任何分割的任何子区间只能取0或1。所以对于任意分割<math>P</math>我们有
:<math>\begin{align}
L_{f,P} &=\sum_{k = 1}^{n}(x_{k} - x_{k-1})\inf_{x \in [x_{k-1},x_{k}]}f = 0\\
U_{f,P} &=\sum_{k = 1}^{n}(x_{k} - x_{k-1}) \sup_{x \in [x_{k-1},x_{k}]}f = 1
\end{align}</math>
从中我们可以看出上下达布和不等。

== 与[[黎曼积分]]的关系==

[[File:Darboux refinement.svg|thumb|right|对于更精细的分割，上达布和减小3公分，下达布和变大3公分]]
如果分割<math>P' : y_0,\ldots,y_m</math>比分割<math>P : x_0,\ldots,x_n</math>“精细”，那么有<math>U_{f, P} \ge U_{f, P'}</math> 以及 <math>L_{f, P} \le L_{f, P'}</math>。这是因为<math>P'</math>实际上是将<math>P</math>中的若干个子区间再做分割，而分割后的子区间上<math>f</math>的上（下）确界必然比原来区间的上（下）确界小（大）。（见图）

如果<math>P_1,P_2</math>是同一个区间的两个分割（不一定要一个比另一个“精细”），那么 

:<math>L_{f, P_1} \le U_{f, P_2}</math>.  

所以， 

:<math>L_f \le U_f</math>

显然，一个分割的[[黎曼积分|黎曼和]]一定介于对应的上达布和与下达布和之间。正规的说，如果

:<math>P = (x_0,\ldots,x_n) \,\!</math>

并且

:<math>T = (t_1,\ldots,t_n) \,\!</math>

共同构成区间上的一个取样分割

:<math> x_0 \le t_1 \le x_1\le \cdots \le x_{n-1} \le t_n \le x_n \,\!</math>

(正如[[黎曼积分]]的定义中那样)，对应<math>P</math>和<math>T</math>的黎曼和为
<math>R</math>，就有

:<math>L_{f, P} \le R \le U_{f, P}.\,\!</math>

由上可以看出，黎曼积分的第二个定义与达布积分的定义等价（见[[黎曼积分#定义#黎曼积分|黎曼积分]]）。如果一个函数<math>f</math>在区间<math>[a,b]</math>的达布积分存在，那么一个对于足够精细的分割，上达布和与下达布和之间的差将能够无限趋近于0（都趋近于共同的极限），因此比其更为精细的分割，黎曼和将介于上达布和与下达布和之间，于是趋于一个极限。同时，注意到对于一个分割，我们可以适当取样使得取样的函数值趋于上（下）确界（由确界的定义）。这表明如果黎曼和趋于一个定值，则上下达布和之间的差将趋于0，也就是说达布积分存在。

==参见==

*[[积分]]
*[[黎曼积分]]
*[[勒贝格积分]]
*[[黎曼－斯蒂尔杰斯积分]]



[[Category:积分的定义]]