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'''达布定理''' 是[[数学]]领域[[微分几何]]中关于[[微分形式]]的一个[[定理]]，部分地推广了[[弗罗贝尼乌斯定理]]。它是包括[[辛几何]]在内多个领域的基石。这个定理以[[让·加斯东·达布]]<ref>Darboux (1882).</ref> 命名，他在解 [[Johann Friedrich Pfaff|Pfaff]] 问题<ref>Pfaff (1814-1815).</ref>  时建立了这个定理。

这个定理的推论之一是任何两个同维数的[[辛流形]]是局部[[辛同胚]]的。这就是说，任何 2''n''-维辛流形能局部的看作带标准辛形式的[[线性辛空间]] '''C'''<sup>''n''</sup>。应用于[[切触几何]]也有类似的结论。

==定理的陈述和第一个推论==
定理准确的陈述如下。<ref>Sternberg (1964) p. 140-141.</ref> 设  &theta; 是一个 ''n'' 维流形上的 1-形式，使得 d&theta; 有常秩 ''p'' 。如果任一点都有
: &theta; &and; (d&theta;)<sup>p</sup> = 0 ，
那么有一个局部的[[坐标系]] ''x''<sub>1</sub>,...,''x''<sub>''n''-''p''</sub>, ''y''<sub>1</sub>, ..., ''y''<sub>''p''</sub> ，在这个坐标系下
: &theta; = ''x''<sub>1</sub> d''y''<sub>1</sub> + ... + ''x''<sub>''p''</sub> : &theta; = ''x''<sub>1</sub> d''y''<sub>1</sub> + ... + ''x''<sub>''p''</sub> d''y''<sub>''p''</sub> + d''x''<sub>''p''+1</sub>。
d''y''<sub>''p''</sub>。
另一个方面，如果任一点有
: &theta; &and; (d&theta;)<sup>p</sup> &ne; 0 任何处,
那么有一个局部坐标系 ''x''<sub>1</sub>,...,''x''<sub>''n''-''p''</sub>, ''y''<sub>1</sub>, ..., ''y''<sub>''p''</sub> 使得
: &theta; = x<sub>1</sub> dy<sub>1</sub> + ... + x<sub>p</sub> dy<sub>p</sub> + dx<sub>p+1</sub>.
特别的，设 &omega; 是  ''n''=2''m'' 维流形 ''M'' 上的一个辛 2-形式。''M'' 上任一点 ''p'' 的局部，由 [[庞加莱引理]]，总有一个 1-形式 &theta; 满足 d&theta;=&omega; 。进一步 &theta; 满足达布定理的第一个假设，从而局部存在一个 ''p'' 附近的坐标卡 ''U'' 使得
:&theta; = ''x''<sub>1</sub> d''y''<sub>1</sub> + ... + ''x''<sub>''m''</sub> d''y''<sub>''m''</sub>。

取[[外导数]]便有
: &omega; = d&theta; = d''x''<sub>1</sub> &and; d''y''<sub>1</sub> + ... + d''x''<sub>''m''</sub> &and; d''y''<sub>''m''</sub>。
坐标卡 ''U'' 称为 ''p'' 附近的达布坐标卡。<ref>Cf. with McDuff and Salamon (1998) p. 96.</ref> 流形 ''M'' 能被这样的卡[[覆盖 (拓扑学)|覆盖]]。 

换一种方式叙述，将 '''R'''<sup>2m</sup> 与 '''C'''<sup>m</sup> 等同起来，令 ''z''<sub>j</sub> = ''x''<sub>j</sub> + i ''y''<sub>j</sub>。如果 &phi; : ''U'' &rarr; '''C'''<sup>''n''</sup>是一个达布坐标卡，那么 &omega; 是标准辛形式 &omega;<sub>0</sub> 在 '''C'''<sup>''n''</sup> 上的[[拉回 (微分几何)|拉回]]:
:<math>\omega = \phi^{*}\omega_0\,</math> 。

==和黎曼几何的比较==
这个结论意味着辛几何没有局部不变性：在任何一点附近，总能取一个[[辛向量空间|达布基]]。这和[[黎曼几何]]具有显著的不同，[[高斯绝妙定理]]指出[[黎曼流形的曲率|曲率]]是黎曼几何的一个局部不变量。曲率阻碍了将[[度量张量|度量]]局部写成一个平方和。

必须要强调的是，达布定理是说 &omega; 能在 ''p'' 附近的“整个邻域”写成一个标准形式。黎曼几何中，度量总能在给定一“点”写成一个标准形式，但一般不能在那个点的邻域，除非局部为欧氏空间。

==又见==
*[[Carathéodory-Jacobi-Lie 定理]]，这个定理的一个推广。

==注释==
<references/>

==参考文献==
* {{cite journal|last = Darboux|first = Gaston| title = [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k68005v Sur le problème de Pfaff]|journal=Bull. Sci. Math.|year=1882|volume=6|pages=14–36, 49–68}}
* {{cite journal|last = Pfaff|first = Johann Friedrich|title = Methodus generalis, aequationes differentiarum partialium nec non aequationes differentiales vulgates, ultrasque primi ordinis, inter quotcunque variables, complete integrandi|url = https://archive.org/details/bub_gb_KoY_AAAAcAAJ|journal = Abhandlungen der Königlichen Akademie der Wissenschaften in Berlin|year=1814–1815|pages=76–136}}
* {{cite book|last=Sternberg|title=Lectures on Differential Geometry|first=Shlomo|publisher=Prentice Hall|year=1964}}
* {{cite book|author=McDuff, D. and Salamon, D.|title=Introduction to Symplectic Topology|publisher=Oxford University Press|year=1998|id=ISBN 0-19-850451-9}}

==外部链接==
* {{planetmath reference|id=5589|title=Proof of Darboux's Theorem|urlname=proofofdarbouxstheorem}}

[[Category:偏微分方程]]
[[Category:辛几何]]
[[Category:微分几何中的坐标系]]
[[Category:数学定理|D]]