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'''达布变换'''（Darboux Transformation）是1882年法国数学家[[讓·加斯東·達布|达布]]发现的一种求[[偏微分方程]]精确显式解的变换法。达布变换在求[[KdV方程]],[[MKdV方程]]，[[高维AKNS系统]]，[[sine-Gordon方程]]，[[sinh-Gordon方程]]，[[高阶Broer Kaup系统]]的精确解方面，有广泛用途。

1882年，达布研究一维[[薛定谔方程]]的[[特征值]]问题：<ref>[[谷超豪]]《[[孤立子]]理论中的达布变换及其几何应用》1-2页，上海科学技术出版社
</ref>

:<math>-\partial^2_x\phi-u(x)\phi=\lambda \phi</math>

他发现作一个变换：

:<math>(u, \phi) \to (u', \phi')</math>

其中 

<math>u'=u+2\partial^2_x(ln(f))</math>

<math>\phi'(x,\lambda)=\phi_x(x,\lambda)-\frac{f_x}{f}\phi(x,\lambda)</math>

其中<math>f(x)=\phi(x,\lambda_0)</math>是<math>\lambda=\lambda_0</math>时一维[[薛定谔方程]]的解，

则当  <math>f \neq 0</math>时，<math>u'</math>和<math>\phi'</math>必定满足另一个相关的一维[[薛定谔方程]]： 

:<math>-\partial^2_x\phi'-u(x)\phi'=</math>λ<math>\phi'</math>

达布变换也称为[[Bäcklund变换]]，其特点在于根据已知的一个解作为种子，经过变换之后，获得完全可积的新方程组，由此得出另一个新的解。<ref>阎振亚《复杂非线性波的构造性理论及其应用》7页，科学出版社，2007年</ref>。

==KdV方程的达布变换==
1977年Wahlquist等学者发现<ref>Wahlquist et al, ''Bäcklund transformation for solitons of the Kortweg-de Vries Equation'', Phys Rev Lett 1973,31:1386</ref>，达布变换也适用于KdV方程，从而将薛定谔方程的达布变换推广为KdV方程的达布变换<ref>谷超豪《孤立子理论中的达布变换及其几何应用》2-4页上海科学技术出版社</ref>

KdV方程：

:<math>\partial_t\phi+\partial^3_x\phi+6\phi\partial_x\phi=0</math>

是其[[LAX对]]的可积条件：

:<math>-\partial^2_x\phi-u\phi=\lambda\phi</math>
:<math>\partial_t\phi=-4\partial^3_x\phi-6u\partial_x\phi-3\partial_xu\phi</math>

经过达布变换(u,Φ)→(u',Φ')得到

:<math>-\partial^2_x\phi'-u'\phi=\lambda\phi'</math>
:<math>\partial_t\phi'=-4\partial^3_x\phi'-6u'\partial_x\phi'-3\partial_xu'\phi'</math>

因此，只要从LAX对求得一个解<math>\phi</math>，然后通过达布变换(u,Φ)→(u',Φ')就可以得到KdV方程的新解，还可以不断进行连锁式达布变换(u,Φ)→(u',Φ')→(u'',Φ'')→(u''',Φ''')……以得到KdV方程大量的解。<ref谷超豪《孤立子理论中的达布变换及其几何应用》2-3页上海科学技术出版社</ref>

==矩阵形式==

==几何应用==
===负常曲率曲面===
[[File:Pseudosphere.png|thumb|250px|负常曲率曲面]]
十九世纪八十年代发现一个[[负常曲率曲面]]是[[Sine-Gordon方程]]一个非零解，又发现通过[[Bäcklund变换]]可以从一个负常曲率曲面得到另一个负常曲率曲面<ref>[[谷超豪]]《孤立子理论中的达布变换及其几何应用》160页上海科学技术出版社</ref>。
====伪球线汇====

==自对偶楊-米爾斯流==

==参考文献==
<references/>

{{非线性偏微分方程理论与解法}}

[[Category:偏微分方程]]