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在[[數論]]領域中，[[苏联]][[數學家]][[亚历山大·辛钦|亚历山大·雅科夫列维奇·辛钦]]（Aleksandr Yakovlevich Khinchin）證明對於[[幾乎所有]]實數''x''，其[[連分數]]表示式的係數''a''<sub>''i''</sub>的[[幾何平均數]]之極限存在，且與''x''數值無關，此數值稱為'''辛钦常數'''（{{lang-en|Khinchin's constant}}）。

以下是''x''的[[連分數]]表示式

:<math>x = a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\cfrac{1}{\ddots}}}}\;</math>

針對任意實數''x''，以下的等式幾乎總是為真

:<math>\lim_{n \rightarrow \infty } \left( \prod_{i=1}^n a_i \right) ^{1/n} = 
K_0</math>
其中 <math>K_0</math>為辛钦常數
:<math>K_0 = 
\prod_{r=1}^\infty {\left( 1+{1\over r(r+2)}\right)}^{\log_2 r}  \approx 2.6854520010\dots</math> {{OEIS|id=A002210}}.

不符合上述條件的實數包括了[[有理數]]、實係數[[二次方程]]的解（包括[[黃金比例]] <math>\frac{1+\sqrt{5}}{2}</math>），以及[[自然對數]]的底[[E (数学常数)|''e'']]。目前辛欽常數是否為[[無理數]]或[[代數數]]仍猶未可知。雖然幾乎所有實數之連分數係數的幾何平均都趨近於辛欽常數，但除了特意建構的實數外，並沒有實數被嚴格證明有此性質，僅有一些數值上的證據，像是[[圓周率]]及[[欧拉-马歇罗尼常数]]。

==開放問題==
[[File:Khinchin constant and pi.png|thumb|430x430px|<math>\lim_{n\rightarrow\infty}(\pi_1\pi_2...\pi_n)^{1/n}</math>似乎會趨近辛钦常数]]
*根據數值上的證據<ref>{{Cite web|url=https://mathworld.wolfram.com/Euler-MascheroniConstantContinuedFraction.html|title=Euler-Mascheroni Constant Continued Fraction|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2020-03-23|archive-date=2024-01-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20240113081809/https://mathworld.wolfram.com/Euler-MascheroniConstantContinuedFraction.html|dead-url=no}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://mathworld.wolfram.com/PiContinuedFraction.html|title=Pi Continued Fraction|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2020-03-23|archive-date=2023-11-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20231106012222/https://mathworld.wolfram.com/PiContinuedFraction.html|dead-url=no}}</ref>，[[圓周率]]{{pi}}、[[歐拉-馬斯刻若尼常數]]{{math|γ}}、以及辛钦常数本身的連分數係數''a''<sub>''i''</sub>的幾何平均數會趨近辛钦常数，不過這還沒有嚴謹的證明。
* 目前還不知道辛欽常數是有理數、[[代數數]]、[[無理數]]或[[超越數]]<ref>{{MathWorld|urlname=KhinchinsConstant|title=Khinchin's constant}}</ref>。


==相關條目==
* [[李維常數]]
* {{le|洛克斯定理|Lochs's theorem}}
==參考資料==
* {{cite journal
|author=David H. Bailey, Jonathan M. Borwein, Richard E. Crandall
|url=http://www.reed.edu/~crandall/papers/95-036-Bailey-Borwein-Crandall.pdf
|title=On the Khinchine constant
|journal=
|year=1995
|volume=
|pages=
|deadurl=yes
|archiveurl=https://web.archive.org/web/20050528215007/http://www.reed.edu/~crandall/papers/95-036-Bailey-Borwein-Crandall.pdf
|archivedate=2005-05-28
}}
* {{cite journal
|author=Jonathan M. Borwein, David M. Bradley, Richard E. Crandall
|url=http://www.maths.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/borwein1.pdf
|title=Computational Strategies for the Riemann Zeta Function
|journal=J. Comp. App. Math.
|year=2000
|volume=121
|pages=p.11
|access-date=2012-11-08
|archive-date=2006-09-25
|archive-url=https://web.archive.org/web/20060925091659/http://www.maths.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/borwein1.pdf
}}
* {{cite book|author=Aleksandr Ya. Khinchin|title=Continued Fractions|url=https://archive.org/details/continuedfractio0000khin|publisher=Dover Publications|location=New York|year=1997}}
* {{citation|last=Ryll-Nardzewski|first=Czesław|title=On the ergodic theorems II (Ergodic theory of continued fractions)|journal=Studia Mathematica|volume=12|year=1951|pages=74–79}}

==外部連結==
* [https://web.archive.org/web/20120218093629/http://pi.lacim.uqam.ca/piDATA/khintchine.txt 110,000 digits of Khinchin's constant]
* [https://web.archive.org/web/20081101100001/http://mpmath.googlecode.com/svn/data/khinchin.txt 10,000 digits of Khinchin's constant]
[[Category:連分數]]
[[Category:數學常數]]