查看“︁辛群”︁的源代码

{{NoteTA|G1=Math|T=zh-tw:扭對稱群;zh-cn:辛群|1=zh-tw:扭對稱;zh-cn:辛}}
{{李群}}
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在[[數學]]中，'''辛群'''可以指涉兩類不同但關係密切的[[群]]。在本條目中，我們分別稱之為Sp(2n,F)與Sp(n)。後者有時也被稱作'''緊緻辛群'''以資區別。許多作者偏好不同的記法，通常是差個二的倍數。本條目採用的記法與矩陣的大小相稱。

== Sp(2n, F) ==
域F上次數為2n的辛群是由2n階[[辛矩阵]]在矩陣乘法下構成的群，記為Sp(2n,F)。由於辛矩陣之行列式恆等於一，此群是SL(2n,F)的子群。

抽象而言，辛群可定義為F上一個2n維[[向量空間]]上保存一個非退化、斜對稱雙線性形的所有可逆線性變換。帶有這種雙線性形的向量空間稱為[[辛向量空間]]。一個辛向量空間V產生的辛群記為Sp(V)。

當n=1，有Sp(2,F)=SL(2,F)，當n>1時，Sp(2n,F)是SL(2n,F)的真子群。

通常將域F取為實數域<math>\mathbb{R}</math>、複數域<math>\mathbb{C}</math>或非阿基米德[[局部域]]，如[[p進數]]域<math>\mathbb{Q}_p</math>。此時辛群Sp(2n,F)是維度等於<math>n(2n+1)</math>的連通[[代數群]]。<math>\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{C})</math>是[[單連通]]的，而<math>\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R})</math>的[[基本群]]則同構於<math>\mathbb{Z}</math>。

<math>\mathrm{Sp}(2n,F)</math>的李代數可以刻劃為滿足下列條件的2n階方陣<math>A</math>：
:<math>\Omega A + A^T \Omega = 0</math>
其中<math>A^T</math>表示<math>A</math>的[[轉置矩陣]]，而<math>\Omega</math>是下述反對稱矩陣
:<math>\Omega =
\begin{pmatrix}
0 & I_n \\
-I_n & 0 \\
\end{pmatrix}
</math>

== Sp(n) ==
緊辛群 <math>\mathrm{Sp}(n)</math> 定義為 <math>\mathrm{H}^n</math>（<math>\mathbb{H}</math>表[[四元數]]）上保持標準[[埃爾米特形式]]
:<math>\langle x, y\rangle = \bar x_1 y_1 + \cdots + \bar x_n y_n</math>
之可逆線性變換。換言之，<math>\mathrm{Sp}(n)</math> 即四元數上的酉群<math>\mathrm{U}(n,\mathbb{H})</math>。有時此群也被稱為超酉群。<math>\mathrm{Sp}(1)</math> 即單位四元數構成之群，拓撲上同胚於三維球 <math>\mathbb{S}^3</math>。

<math>\mathrm{Sp}(n)</math> 並不同構於之前定義的 <math>\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R})</math>。下節將解釋其間的聯繫。

<math>\mathrm{Sp}(n)</math> 是 <math>n(2n+1)</math> 維之緊緻、連通、[[單連通]]實[[李群]]，並滿足

:<math>Sp(n)=U(2n)\cap Sp(2n,\mathbb{C})</math>

其[[李代數]]由滿足下述關係的 n 階四元數矩陣構成
:<math>A+A^{\dagger} = 0</math>
其中 <math>A^\dagger</math> 是 <math>A</math> 的[[共軛轉置]]（在此取[[四元數]]之共軛運算）。李括積由矩陣之交換子給出。

緊辛群 <math>\mathrm{Sp}(n)</math> 有时称为酉辛群，记为 <math>\mathrm{USp}(2n)</math>

==辛群之間的關係==
以上定義之<math>\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R})</math>與<math>\mathrm{Sp}(n)</math>之李代數在複化後給出相同的[[單李代數]]。此李代數記作<math>C_n</math>。此李代數也就是複李群<math>\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{C})</math>之李代數，記作<math>\mathrm{sp}(2n,\mathbb{C})</math>。它有兩個不同的實形式：
# 緊緻形式<math>\mathrm{sp}(n)</math>，即<math>\mathrm{Sp}(n)</math>之李代數。
# 正規形式<math>\mathrm{sp}(2n,\mathbb{R})</math>，即<math>\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R})</math>。

{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" style="text-align:center;"
|+style="margin-bottom:5pt" | '''辛群之間的關係'''
|-----
! style="background:#ffdead;" |  
! style="background:#ffdead;" | 矩陣
! style="background:#ffdead;" | 李群
! style="background:#ffdead;" | dim/R
! style="background:#ffdead;" | dim/C
! style="background:#ffdead;" | 緊緻
! style="background:#ffdead;" | [[基本群|π<sub>1</sub>]]
|-----
| style="background:#efefef;" | Sp(2''n'', '''R''')
| '''R''' || 實 || ''n''(2''n'' + 1) || – || 否
| '''Z'''
|-----
| style="background:#efefef;" | Sp(2''n'', '''C''')
| '''C''' || 複 || 2''n''(2''n'' + 1) || ''n''(2''n'' + 1) || 否
| 1
|-----
| style="background:#efefef;" | Sp(''n'')
| '''H''' || 實 || ''n''(2''n'' + 1) || – || align="center" | 是
| 1
|}

==參見==
* [[正交群]]
* [[酉群]]
* [[射影酉群]]
* [[辛流形]]、[[辛矩阵]]、[[辛向量空间]]、[[扭對稱符號]]
* [[哈密顿力学]]

{{Authority control}}
[[Category:李群|X]]
[[Category:辛幾何|X]]