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[[微分几何]]中，'''辛流形'''是装备了[[闭微分形式和恰当微分形式|闭]][[非退化]]2-[[微分形式|形式]]ω的[[光滑流形]]''M''，ω称为'''辛形式'''。辛流形的研究称为[[辛几何]]或[[辛拓扑]]。辛流形作为[[经典力学]]和[[分析力学]]中流形的[[余切丛]]自然出现，例如在经典力学的[[哈密顿力学|哈密顿表述]]中（这该领域的主要动机之一），系统所有可能构型的空间可以用流形建模，流形的余切丛描述了该系统的[[相空间]]。

一个辛流形上的任何实值可微函数''H''可以用作一个'''能量函数'''或者叫'''哈密顿量'''。和任何一个哈密顿量相关有一个[[哈密顿向量场]]；该哈密顿向量场的[[积分曲线]]是[[哈密顿-雅可比方程]]的解。哈密顿向量场定义了辛流形上的一个流场，称为'''哈密顿流场'''或者叫[[辛同胚]]。根据[[刘维尔定理 (哈密顿力学)|刘维尔定理]]，哈密顿流保持相空间的体积形式不变。

== 动机 ==
辛流形来自[[经典力学]]，是封闭系统[[相空间]]的推广。<ref name="Webster">{{cite web |first=Ben |last=Webster |title=What is a symplectic manifold, really? |date=2012-01-09 |url=https://sbseminar.wordpress.com/2012/01/09/what-is-a-symplectic-manifold-really/ |access-date=2023-12-25 |archive-date=2023-04-05 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230405195019/https://sbseminar.wordpress.com/2012/01/09/what-is-a-symplectic-manifold-really/ |dead-url=no }}</ref>[[哈密顿方程]]可从[[微分方程]]组推导系统的时间演化，辛形式也可从哈密顿函数''H''的微分d''H''得到描述系统流的[[向量场]]。<ref name="Cohn">{{cite web |first=Henry |last=Cohn |title=Why symplectic geometry is the natural setting for classical mechanics |url=https://math.mit.edu/~cohn/Thoughts/symplectic.html |access-date=2023-12-25 |archive-date=2023-05-20 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230520204522/https://math.mit.edu/~cohn/Thoughts/symplectic.html |dead-url=no }}</ref>因此需要线性映射<math>TM \rightarrow T^*M </math>，从[[切丛|切流形]]<math>TM</math>到[[余切丛|余切流形]]<math> T^* M </math>；或等价地，<math>T^*M \otimes T^*M</math>的元素。令<math>\omega</math>表示<math>T^*M \otimes T^* M</math>的[[截面 (纤维丛)|截面]]，<math>\omega</math>[[退化双线性形式|非退化]]的要求确保了对每个微分<math>dH</math>，都有唯一对应的向量场<math>V_H</math>使<math>dH = \omega (V_H, \cdot)</math>。由于我们希望哈密顿量沿流线是常值，所以应有<math>\omega(V_H, V_H) = dH(V_H) = 0</math>，说明<math>\omega</math>是交替形式，因此是2形式。最后，我们要求<math>\omega</math>在流线作用下不变，即<math>\omega</math>沿<math>V_H</math>的[[李导数]]为零。应用[[内乘|嘉当同伦公式]]，这相当于（此处<math> \iota_X</math>表示[[内积]]）：

:<math>\mathcal{L}_{V_H}(\omega) = 0\;\Leftrightarrow\;\mathrm d (\iota_{V_H} \omega) + \iota_{V_H} \mathrm d\omega= \mathrm d (\mathrm d\,H) + \mathrm d\omega(V_H) = \mathrm d\omega(V_H)=0</math>

这样，当对不同光滑函数''H''重复这过程，使相应的<math>V_H</math>在每点上张成切空间，便能发现任意光滑的''H''对应的<math>V_H</math>流的李导数为零，等同于说''ω''是[[闭微分形式和恰当微分形式|闭]]的。

== 定义 ==
光滑流形''M''上的'''辛形式'''是闭非退化微分2形式<math> \omega </math>。<ref name="Gosson">{{cite book |first=Maurice |last=de Gosson |title=Symplectic Geometry and Quantum Mechanics |year=2006 |publisher=Birkhäuser Verlag |location=Basel |isbn=3-7643-7574-4 |page=10 }}
</ref><ref name="Arnold">{{Cite book|first1=V. I.|last1=Arnold|first2=A. N.|last2=Varchenko|first3=S. M.|last3=Gusein-Zade|author-link1=Vladimir Arnold|author-link3=Sabir Gusein-Zade|author-link2=Alexander Varchenko|title=The Classification of Critical Points, Caustics and Wave Fronts: Singularities of Differentiable Maps, Vol 1|url=https://archive.org/details/singularitiesofd0002arno|publisher=Birkhäuser|year=1985|isbn=0-8176-3187-9}}</ref>当中，非退化是指对每个点<math> p \in M </math>，由<math>\omega</math>定义的[[切空间]]<math> T_p M </math>中的斜对称对非退化。也就是说，若<math>\exists X \in T_p M </math>，使得<math> \omega( X, Y ) = 0,\ \forall Y \in T_p M </math>，则<math> X = 0 </math>。奇数维度下，[[斜对称矩阵]]总是奇异的，所以<math> \omega </math>非退化意味着''M''只能是偶数维。<ref name="Gosson"/><ref name="Arnold"/>闭条件意味着<math> \omega </math>的[[外导数]]为零。'''辛流形'''是一对<math> (M, \omega) </math>，其中''M''是光滑流形，<math> \omega </math>是辛形式。赋予''M''以辛形式，称作赋予''M'''''辛结构'''。

== 体积形式 ==
从定义可以直接得到每个辛流形''M''都是偶数维2''n''，这是因为<math>\omega^n</math>是无处为0的形式，''辛体积形式''。由此可以得到，每个辛流形是有一个标准的[[定向 (幾何)|定向]]的，并且有一个标准的[[测度]]，'''刘维尔测度'''（经常重整为<math>\omega^n/n!</math>）。
== 例子 ==

=== 辛向量空间 ===
{{main|辛向量空间}}
令<math>\{v_1, \ldots, v_{2n}\}</math>为<math>\R^{2n}</math>的基，在其上定义辛形式''ω''：

:<math>\omega(v_i, v_j) = \begin{cases} 1 & j-i =n \text{ with } 1 \leqslant i \leqslant n \\ -1 & i-j =n \text{ with } 1 \leqslant j \leqslant n \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}</math>

这样，辛形式简化为[[二次型]]。用<math>I_n</math>表示''n''阶[[单位矩阵]]，则二次型矩阵Ω将由2''n''阶方阵给出：

:<math>\Omega = \begin{pmatrix} 0 & I_n  \\ -I_n & 0 \end{pmatrix}. </math>

=== 余切丛 ===
令''Q''为''n''维光滑流形，则[[余切丛]]<math>T^* Q</math>的总空间具有自然辛形式，称作庞加莱2形式，或[[重言1形式|正规辛形式]]

:<math>\omega = \sum_{i=1}^n dp_i \wedge dq^i </math>

其中<math>(q^1, \ldots, q^n)</math>是''Q''上的任意局部坐标，<math>(p_1, \ldots, p_n)</math>是关于切向量<math>dq^1, \ldots, dq^n</math>的纤维坐标。余切丛是经典力学的自然[[相空间]]。区分上下索引的关键在于流形有没有[[度量张量]]，[[黎曼流形]]就是这种情况。上下索引在坐标系变换下进行反变与协变变换。“关于切向量的纤维坐标”是说，动量<math>p_i</math>与速度<math>dq^i</math>“[[焊接形式|焊接]]”在一起，表达了速度与动量共线的概念，并相差标量因子。

=== 凯勒流形 ===
[[凯勒流形]]是具有相容可积复结构的辛流形，构成一类特殊的[[复流形]]，复[[代数几何]]中有一大类例子。光滑复[[射影簇]]<math>V \subset \mathbb{CP}^n</math>都有辛形式，是[[射影空间]]<math>\mathbb{CP}^n</math>上的[[富比尼–施图迪度量|富比尼–施图迪形式]]的限制。

=== 殆复流形 ===
具有与<math>\omega</math>相容的殆复结构的[[黎曼流形]]称作[[殆复流形]]，推广了凯勒流形，因为其不一定[[可积系统|可积]]。也就是说，它们不一定来自流形上的复结构。

== 拉格朗日及其他子流形 ==
辛流形<math> (M, \omega) </math>的[[子流形]]有几个自然的几何概念：

* ''M''的'''辛子流形'''（可能是任意偶数维）是子流形<math> S \subset M </math>，且<math> \omega|_S </math>是''S''上的辛形式。
* '''迷向子流形'''是辛形式限制为零的子流形，即切空间都是环境流形切空间的[[迷向二次型|迷向子空间]]。同样，若子流形的切子空间都是余迷向的（迷向子空间的对偶），则子流形也称作'''余迷向'''的。
* 辛流形<math>(M,\omega)</math>的'''拉格朗日子流形'''是辛形式<math>\omega</math>对<math>L\subset M</math>的限制为等于零的子流形，即<math>\omega|_L=0,\ \text{dim }L=\tfrac{1}{2}\dim M</math>。拉格朗日子流形是最大迷向子流形。

[[辛同胚]]的图像在积辛流形<math>(M\times M,\ \omega\times -\omega)</math>上是拉格朗日子流形。其交显示出光滑流形所不具备的刚性，[[阿诺德猜想]]给出了子流形的[[贝蒂数]]之和作为光滑拉格朗日子流形自交数的下界，而非光滑情形下的[[欧拉示性数]]。

=== 例子 ===
令<math>\R^{2n}_{\textbf{x},\textbf{y}}</math>有全局坐标<math>(x_1, \dotsc, x_n, y_1, \dotsc, y_n)</math>，则可将<math>\R_{\textbf{x},\textbf{y}}^{2n}</math>赋以规范辛形式

:<math>\omega =\mathrm{d}x_1\wedge \mathrm{d}y_1 + \dotsb + \mathrm{d}x_n\wedge \mathrm{d}y_n.</math> 

有<math>\R^n_{\mathbf{x}} \to \R^{2n}_{\mathbf{x},\mathbf{y}}</math>给出的标准拉格朗日子流形。形式<math>\omega</math>在<math>\R^n_{\mathbf{x}}</math>为零，因为给定任一对切向量<math>X= f_i(\textbf{x}) \partial_{x_i}, Y=g_i(\textbf{x})\partial_{x_i},</math>都有<math>\omega(X,Y) = 0.</math>考虑<math>n=1</math>情形，则<math>X = f(x)\partial_x,\  Y=g(x)\partial_x,\ \omega = \mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y</math>。注意，把它展开时

:<math>\omega(X,Y) = \omega(f(x)\partial_x,g(x)\partial_x) = \frac{1}{2}f(x)g(x)(\mathrm{d}x(\partial_x)\mathrm{d}y(\partial_x) - \mathrm{d}y(\partial_x)\mathrm{d}x(\partial_x))</math>

项都有因子<math>\mathrm{d}y(\partial_x)</math>，由定义等于0。

====例子：余切丛====
流形的余切丛局部建模在与第一例类似的空间上。可以证明，我们可以粘合这些仿射辛形式，因此该丛形成了辛流形。拉格朗日子流形的一个不太平凡的例子是流形余切丛的零截面。例如，令

:<math>X = \{(x,y) \in \R^2 : y^2 - x = 0\}.</math>

然后可以把<math>T^*X</math>表为

:<math>T^*X = \{(x,y,\mathrm{d}x,\mathrm{d}y) \in \R^4 : y^2 - x = 0, 2y\mathrm{d}y - \mathrm{d}x = 0\}</math>

其中我们将符号<math>\mathrm{d}x,\mathrm{d}y</math>视作<math>\R^4 = T^*\R^2</math>的坐标。可以考虑坐标<math>\mathrm{d}x=0</math>、<math>\mathrm{d}y=0</math>的子集，从而得到零截面。这个例子可重复用于由光滑函数<math>f_1,\dotsc,f_k</math>及其微分<math>\mathrm{d}f_1,\dotsc,df_k</math>的零轨迹（vanishing locus）定义的流形。

====例子：参数子流形 ====
考虑坐标为<math>(q_1,\dotsc ,q_n,p_1,\dotsc ,p_n)</math>的规范空间<math>\R^{2n}</math>。<math>\R^{2n}</math>的参数子流形是由坐标<math>(u_1,\dotsc,u_n)</math>参数化的曲面，使
:<math>q_i=q_i(u_1,\dotsc,u_n) \quad p_i=p_i(u_1,\dotsc,u_n)</math>

若[[拉格朗日括号]]<math>[u_i,\ u_j],\ \forall i,\ j</math>都为零，则是拉格朗日子流形。即，是拉格朗日子流形的等价条件是

:<math>\forall i,\ j,\ [u_i,\ u_j]=\sum_k \frac {\partial q_k}{\partial u_i}\frac {\partial p_k}{\partial u_j} 
- \frac {\partial p_k}{\partial u_i}\frac {\partial q_k}{\partial u_j} 
= 0</math>  

这可以通过在拉格朗日子流形''L''的条件中展开
:<math>
\frac {\partial }{\partial u_i}=
\frac {\partial q_k}{\partial u_i} \frac {\partial}{\partial q_k} 
+ \frac {\partial p_k}{\partial u_i} \frac {\partial}{\partial p_k} 
</math>
来看到。即，辛形式在切流形<math>TL</math>（所有切向量）上必须为零：
:<math>\forall i,\ j,\ \omega\left( \frac {\partial}{\partial u_i}, \frac {\partial}{\partial u_j} \right)=0</math>
利用<math>\R^{2n}</math>上的规范辛形式简化结果：

:<math>
\omega\left( \frac {\partial }{\partial q_k}, \frac {\partial}{\partial p_k}\right) =
-\omega\left( \frac {\partial }{\partial p_k}, \frac {\partial}{\partial q_k}\right) = 1 
 </math>
而其他的都为零。

由于辛流形上的[[图册#卡|局部坐标图]]具有规范形式，此例表明拉格朗日子流形相对来说不受约束。辛流形的分类由[[弗洛尔同调]]完成，这是[[莫尔斯理论]]在拉格朗日子流形间的映射的[[作用量|作用泛函]]中的应用。物理学中，作用量描述了物理系统的时间演化；这里，它可视作对膜动力的描述。

====例子：莫尔斯理论====
另一类有用的拉格朗日子流形出现于[[莫尔斯理论]]。给定[[莫尔斯函数]]<math>f:M\to\R</math>，且对足够小的<math>\varepsilon</math>，可以构造拉格朗日子流形，其由零轨迹<math>\mathbb{V}(\varepsilon\cdot \mathrm{d}f) \subset T^*M</math>给出。对一般莫尔斯函数，有拉格朗日交，由<math>M \cap \mathbb{V}(\varepsilon\cdot \mathrm{d}f) = \text{Crit}(f)</math>给出。

{{See also|辛范畴}}

=== 特殊拉格朗日子流形 ===
[[凯勒流形]]或[[卡拉比-丘流形]]的情形下，可以在''M''上选择<math>\Omega=\Omega_1+\mathrm{i}\Omega_2</math>作为全纯n形式，其中<math>\Omega_1</math>是实部，<math>\Omega_2</math>是虚部。若对拉格朗日子流形''L''的<math>\Omega_2</math>为零，则''L''是'''特殊'''的。也就是说，限制在''L''上实部<math>\Omega_1</math>的条件引导了''L''上的体积形式。以下例子称作特殊拉格朗日子流形：
# [[超凯勒流形]]的复拉格朗日子流形
# 卡拉比-丘流形的实结构的定点
[[SYZ猜想]]涉及[[镜像对称 (弦理论)|镜像对称]]中特殊拉格朗日子流形的研究，见{{harv|Hitchin|1999}}。

[[托马斯-丘猜想]]预言，在拉格朗日量的哈密顿迷向类中的卡拉比-丘流形上存在特殊拉格朗日子流形，这等价于流形的[[深谷范畴]]上的[[布里奇兰稳定性条件]]。

== 拉格朗日纤维 ==

=== 线性辛流形 ===
有一个标准“局部”模型，也就是<math>\mathbb{R}^{2n}</math>，其中<math>\forall i=0,\ldots,\ n-1,\ j,\ k=0,\ldots,\ 2n-1(k\neq j+n,\ j\neq k+n),\ \omega_{i,\ n+i}=1;\ \omega_{n+i,\ i}=-1;\ \omega_{j,\ k}=0</math>。这是一个''线性''辛空间的例子。参看[[辛向量空间]]。一个称为[[达布定理 (微分几何)|达布定理]]的命题表明[[局部]]来看每个辛流形都和这个简单的辛流形相似。

=== 拉格朗日纤维 ===

辛流形''M''的'''拉格朗日纤维'''是指所有[[纤维丛#正式定義|纤维]]都是拉格朗日子流形的[[纤维化 (数学)|纤维]]。由于''M''是偶数维，所以可取局部坐标<math>(p_1,\ \ldots,\ p_n,\ q^1,\ \ldots,\ q^n)</math>，由[[达布定理]]，辛形式''ω''（至少局部地）可以写成<math>\omega=\sum {\rm d}p_k\wedge {\rm d}q^k</math>，其中d表示[[外微分]]，∧表示[[外代数|外积]]。这种形式称作[[重言·形式|庞加莱2形式]]或规范2形式。利用这种设置，我们可以局部地将''M''看成[[余切丛]]<math>T^*\R^n</math>，拉格朗日纤维则是平凡纤维<math>\pi: T^*\R^n \to \R^n.</math>这便是规范图像。
== 拉格朗日映射 ==

[[File:TIKZ PICT FBN.png|thumb|]]
令''L''为辛流形<math>(K,\ \omega)</math>的由[[浸入]]<math>i:\ L\hookrightarrow K</math>（''i''是'''拉格朗日浸入'''）给出的拉格朗日子流形。令<math>\pi:\ K\twoheadrightarrow B</math>给出''K''的一个拉格朗日纤维，则<math>(\pi\circ i):\ L\hookrightarrow K\twoheadrightarrow B</math>是'''拉格朗日映射'''。<math>\pi \circ i</math>的[[临界值]]集称作[[焦散线]]。

两拉格朗日映射<math>(\pi_1\circ i_1):\ L_1\hookrightarrow K_1\twoheadrightarrow B_1,\  (\pi_2\circ i_2):\ L_2\hookrightarrow K_2\twoheadrightarrow B_2</math>，若有[[微分同胚]]<math>\sigma,\ \tau,\ nu</math>使两式右图[[交换图|交换]]、''τ''保留辛形式，则称它们'''拉格朗日等价'''。<ref name="Arnold"/>用符号表示：
: <math> \tau \circ  i_1 = i_2 \circ \sigma, \ \nu \circ \pi_1 = \pi_2 \circ \tau, \ \tau^*\omega_2 = \omega_1 \, , </math>
其中<math>\tau^*\omega_2</math>表示<math>\omega_2</math>对''τ''的[[拉回_(微分几何)#微分形式|拉回]]。

== 特例与推广 ==
* 辛流形<math>(M, \omega)</math>的辛形式<math>\omega</math>若是[[闭微分形式和恰当微分形式|正合]]的，则辛流形也是'''正合'''（exact）的。例如，光滑流形的余切丛是正合辛流形。[[规范辛形式]]也正合。
* 切丛具有殆复结构的意义上，赋予跟辛形式相容的[[度量张量|度量]]的辛流形是[[殆凯勒流形]]，但不一定可积。
* 辛流形是[[泊松流形]]的特例。
* 度数为''k''的'''多辛流形'''（multisymplectic manifold）是具备闭非退化''k''形式的流形。<ref>{{cite journal |first1=F. |last1=Cantrijn |first2=L. A. |last2=Ibort |first3=M. |last3=de León |title=On the Geometry of Multisymplectic Manifolds |journal=J. Austral. Math. Soc. |series=Ser. A |volume=66 |year=1999 |issue=3 |pages=303–330 |doi=10.1017/S1446788700036636 |doi-access=free }}</ref>
* '''聚辛流形'''（polysymplectic manifold）是具有聚辛切值<math>(n+2)</math>形式的勒让德丛，用于[[哈密顿场论]]。<ref>{{cite journal |first1=G. |last1=Giachetta |first2=L. |last2=Mangiarotti |first3=G. |last3=Sardanashvily |author-link3=Gennadi Sardanashvily |title=Covariant Hamiltonian equations for field theory |journal=Journal of Physics |volume=A32 |year=1999 |issue=38 |pages=6629–6642 |doi=10.1088/0305-4470/32/38/302 |arxiv=hep-th/9904062 |bibcode=1999JPhA...32.6629G |s2cid=204899025 }}</ref>

== 切触流形 ==
和辛流形紧密相关的有一个奇数维流形，称为[[切触流形]]。每个''2n+1''维切触流形<math>(M,\ \alpha)</math>给出一个''2n+2''维辛流形<math>(M\times\mathbb{R},\ {\rm d}(e^t\alpha)).</math>

== 另见 ==
{{Portal|数学}}
{{colbegin|colwidth=22em}}
* [[殆辛流形]]

* [[殆复流形]]

* [[切触几何]]
* [[哈密顿场论]]
* [[凯勒流形]]
* [[泊松括号]]
* [[辛群]]
* [[辛矩阵]]
* [[辛拓扑]]
* [[辛向量空间]]
* [[辛同胚]]
* [[重言1-形式]]
{{colend}}

== 脚注 ==
{{Reflist}}
== 参考文献 ==
*{{cite book |first1=Dusa |last1=McDuff |author-link=Dusa McDuff |first2=D. |last2=Salamon |title=Introduction to Symplectic Topology |year=1998 |series=Oxford Mathematical Monographs |isbn=0-19-850451-9 }}
*{{cite web |first=Denis |last=Auroux |author-link=Denis Auroux |title=Seminar on Mirror Symmetry |url=https://math.berkeley.edu/~auroux/290s16.html |access-date=2023-12-25 |archive-date=2023-02-24 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230224160605/https://math.berkeley.edu/~auroux/290s16.html |dead-url=no }}
*{{cite web |first=Eckhard |last=Meinrenken |author-link=Eckhard Meinrenken |title=Symplectic Geometry |url=https://www.math.toronto.edu/mein/teaching/LectureNotes/sympl.pdf |access-date=2023-12-25 |archive-date=2023-04-04 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230404205851/https://www.math.toronto.edu/mein/teaching/LectureNotes/sympl.pdf |dead-url=no }}
*{{cite book |first1=Ralph |last1=Abraham |author-link=Ralph Abraham (mathematician) |first2=Jerrold E. |last2=Marsden |author-link2=Jerrold E. Marsden |title=Foundations of Mechanics |year=1978 |publisher=Benjamin-Cummings |location=London |isbn=0-8053-0102-X |at=See Section 3.2 }}
* {{cite book |first=Maurice A. |last=de Gosson |author-link=Maurice A. de Gosson |title=Symplectic Geometry and Quantum Mechanics |year=2006 |publisher=Birkhäuser Verlag |location=Basel |isbn=3-7643-7574-4 }}
* {{cite journal |author=Alan Weinstein |title=Symplectic manifolds and their lagrangian submanifolds |author-link=Alan Weinstein |journal=[[Advances in Mathematics]] |volume=6 |issue=3 |year=1971 |pages=329–46 |doi=10.1016/0001-8708(71)90020-X | doi-access=free }}
* {{Cite book |last=Arnold |first=V. I. |url=http://link.springer.com/10.1007/978-94-011-3330-2 |title=Singularities of Caustics and Wave Fronts |date=1990 |chapter=Ch.1, Symplectic geometry |publisher=Springer Netherlands |isbn=978-1-4020-0333-2 |series=Mathematics and Its Applications |volume=62 |location=Dordrecht |doi=10.1007/978-94-011-3330-2 |oclc=22509804}}
== 阅读更多  ==
* {{cite arXiv |first1=Petr |last1=Dunin-Barkowski |year=2022 |title=Symplectic duality for topological recursion |class=math-ph |eprint=2206.14792 }}
* {{cite web |title=How to find Lagrangian Submanifolds |work=[[Stack Exchange]] |date=December 17, 2014 |url=https://math.stackexchange.com/q/1072200 }}
* {{Springer|authorlink=Ülo Lumiste|last=Lumist| first=Ü. |title=Symplectic Structure|id=s/s091860}}
* {{cite journal |author-link=Gennadi Sardanashvily |last=Sardanashvily |first=G. |date=2009 |title=Fibre bundles, jet manifolds and Lagrangian theory |journal=Lectures for Theoreticians |arxiv=0908.1886 }}
* {{cite web |author-link=Dusa McDuff |last=McDuff |first=D. |url=https://www.ams.org/notices/199808/mcduff.pdf |title=Symplectic Structures—A New Approach to Geometry |work=Notices of the AMS |date=November 1998 |access-date=2023-12-25 |archive-date=2023-01-28 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230128154516/http://www.ams.org/notices/199808/mcduff.pdf |dead-url=no }}
* {{cite arXiv |first1=Nigel |last1=Hitchin |year=1999 |title=Lectures on Special Lagrangian Submanifolds |eprint=math/9907034 }}
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