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{{noteTA
|G1=物理學
|G2=Math
|1=zh-hans:辛标记; zh-hant:辛標記;
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在[[哈密頓力學]]裏，因為[[哈密頓方程式]]對於[[廣義坐標]] <math>\mathbf{q}\,\!</math> 與[[廣義動量]] <math>\mathbf{p}\,\!</math> 的運算在正負號上並不對稱，必須用兩個方程式來表示：
:<math>\dot{\mathbf{q}}=~~\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{p}}\,\!</math> ，
:<math>\dot{\mathbf{p}}= - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{q}}\,\!</math> ；
這裏， <math>\mathcal{H}\,\!</math> 是[[哈密頓量]]。

'''辛標記'''提供了一種既簡單，又有效率的標記方法來展示方程式及數學運算。辛標記的英文名 「Symplectic notation」 最先是德國著名數學家[[赫尔曼·外尔]]提出的<ref name="Herb1980">{{cite book |last=Goldstein|first=Herbert|title=Classical Mechanics|year=1980| location=United States of America | publisher=Addison Wesley| edition= 3rd| isbn=0201657023 | language=en| pages=pp. 343}}</ref>。 Symplectic 這字原來在希臘文是'''糾纏'''或'''編結'''的意思；用在這裏主要是形容廣義坐標和廣義動量互相編結在一起的情況。

設定一個 <math>2N\times 1\,\!</math> 的豎[[矩陣]] <math>\boldsymbol{\xi}\,\!</math> :
:<math>\boldsymbol{\xi}^T=[q_1,\ q_2,\ q_3,\ \dots,\ q_N,\ p_1,\ p_2,\ p_3,\ \dots,\ p_N]\,\!</math> ；

此矩陣上半段是[[廣義坐標]]、下半段是[[廣義動量]]、<math>T\,\!</math> 代表[[轉置矩陣|轉置運算]]。我們也可以將 <math>\boldsymbol{\xi}\,\!</math> 視為一個[[向量]]。

定義'''[[辛矩陣]]''' <math>\boldsymbol{\Omega}\,\!</math> 為一個[[斜對稱矩陣|斜對稱]]的 <math>2N\times 2N\,\!</math> [[方塊矩陣]]：

:<math>\boldsymbol{\Omega}=\begin{bmatrix} \mathbf{0} & \mathbf{1} \\ - \mathbf{1} &  \mathbf{0}\end{bmatrix}\,\!</math> ；

這裏，<math>\boldsymbol{\Omega}\,\!</math> 是由 4 個 <math>N\times N\,\!</math> [[零矩陣]]<math>\mathbf{0}</math>與[[單位矩陣]]<math>\mathbf{1}</math>組成。

這樣，哈密頓方程式可以簡易的表示為
:<math>\dot{\boldsymbol{\xi}}=\boldsymbol{\Omega}\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\,\!</math> 。

==正則變換==
[[正則變換]]是一種[[正則坐標]]的改變，而同時維持哈密頓方程式的形式，雖然哈密頓量可能會改變。所以，使用正則變換，正則坐標會從舊正則坐標 <math>\boldsymbol{\xi}\,\!</math> 改變成新正則坐標 <math>\boldsymbol{\Xi} \,\!</math> ， <math>\boldsymbol{\xi} \rightarrow \boldsymbol{\Xi}\,\!</math> ；哈密頓量也從舊的哈密頓量 <math>\mathcal{H}\,\!</math> 改變成新的哈密頓量 <math>\mathcal{K}\,\!</math> ，<math>\mathcal{H} \rightarrow \mathcal{K}\,\!</math> ；但是，哈密頓方程式的形式仍舊維持不變：
:<math>\dot{\boldsymbol{\Xi}}=\boldsymbol{\Omega}\ \frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \boldsymbol{\Xi}}\,\!</math> 。

==帕松括號==
在[[相空间]]中，用[[正則座標]] <math>\mathbf{q},\ \mathbf{p}\,\!</math> ，两个函数<math> f(\mathbf{q},\ \mathbf{p}),\ g(\mathbf{q},\ \mathbf{p})\,\!</math> 的[[泊松括號]]記作:

:<math>\big[f,g\big]_{\mathbf{q},\ \mathbf{p}} = \sum_{i=1}^{N} \left(
\frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} -
\frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q_{i}}
\right)\,\!</math> 。

用辛標記，
:<math>\big[f,g\big]_{\boldsymbol{\xi}}=
\left(\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)^T \boldsymbol{\Omega}\ \frac{\partial g}{\partial \boldsymbol{\xi}}\,\!</math> 。

==參閱==
*[[辛拓撲]]
*[[辛群]]
*[[辛矩陣]]

==參考文獻==
<references />

[[Category:經典力學|X]]
[[Category:哈密頓力學|X]]
[[Category:辛幾何|X]]