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{{NoteTA |G1=Math |T=zh-tw:扭對稱向量空間 }} [[数学]]中，一个'''辛矢量空间'''是带有'''辛形式''' ω 的[[向量空间]] ''V''，所谓辛形式即一个[[非退化]][[斜对称]]的[[双线性形式]]。 确切地说，一个辛形式是一个双线性形式 ω ：''V'' × ''V'' → '''R''' 满足： * 斜对称：ω(''u'', ''v'') = −ω(''v'', ''u'')，对所有 ''u'', ''v'' ∈ ''V'' 成立； * 非退化：如果 ω(''u'', ''v'') = 0 对所有 ''v'' ∈ ''V'' 成立，那么 ''u'' = 0 。 取定一组[[基 (線性代數)|基]]，ω 能表示为一个[[矩阵]]。以上两个条件表明这个矩阵必须是[[斜对称矩阵|斜对称]][[非奇异矩阵]]。这<u>不同</u>于下面将介绍的[[辛矩阵]]，辛矩阵表示空间的一个辛变换。 如果 ''V'' 是[[有限维]]的那么维数必须为[[偶数]]，因为每个奇数阶斜对称矩阵的行列式为 0。 非退化斜对称双线性形式和非退化“对称”双线性形式，比如[[欧几里得向量空间]]的[[内积]]，的表现非常不同。欧几里得内积 ''g''，对任何非零向量 ''v''，均有 ''g''(''v'',''v'') > 0 成立；但是一个辛形式 ω 满足 ω(''v'',''v'') = 0 。 ==标准辛空间== {{See|辛矩阵}} 标准辛空间 '''R'''<sup>2''n''</sup> 带有由一个[[非奇异矩阵|非奇异]][[斜对称矩阵]]给出的辛形式 ω。典型地，ω 写成矩阵形式表为[[分块矩阵]] :<math>\omega = \begin{bmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \end{bmatrix}</math> 这里 ''I''<sub>''n''</sub> 是 ''n'' × ''n'' [[单位矩阵]]。用基向量表示 :<math>(x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n)</math>: :<math>\omega(x_i, y_j) = -\omega(y_j, x_i) = \delta_{ij}\,</math> :<math>\omega(x_i, x_j) = \omega(y_i, y_j) = 0.\,</math> 一个经过修改的[[格拉姆－施密特正交化|正交化]]过程指出任何有限维辛向量空间都有这样一组基，经常称为'''[[达布]]基'''或'''辛基'''底。 有另外一种方式理解标准辛形式。因上面所使用的带有标准结构的模型空间 '''R'''<sup>''n''</sup> 容易导致误会，我们用一个“匿名”空间替代之。设 ''V'' 是一个 ''n''-维实向量空间，''V''<sup>∗</sup> 为其[[对偶空间]]。现在考虑[[直和]] ''W'' := ''V'' ⊕ ''V''<sup>∗</sup>，带有如下形式： :<math>\omega(x \oplus \eta, y \oplus \xi) = \xi(x) - \eta(y).</math> 选取 ''V'' 的任何一组基 (''v''<sub>1</sub>, …, ''v''<sub>''n''</sub>) ，考虑其对偶基 :<math>(v^*_1, \ldots, v^*_n).</math> 我们能将基理解成在 ''W'' 中的向量。若记 ''x''<sub>''i''</sub> = (''v''<sub>''i''</sub>, 0) 和 ''y''<sub>''i''</sub> = (0, v<sub>''i''</sub><sup>∗</sup>)，将它们放在一块，组成了 ''W'' 一组完整的基， :<math>(x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n).</math> 这里定义的形式 <math>\omega</math> 可以证明具有本节最初的那些性质，换句话说，每一个辛结构都同构于一个形如''V'' ⊕ ''V''<sup>∗</sup>的形式。 对子空间''V''的选择不是唯一的,对''V''选择的过程称为'''极化.''' 给出了一个这样的同构的子空间称为一个'''拉格朗日子空间'''或简称'''拉氏子空间.''' 更加明确的说，给定一个拉氏子空间(如之前定义), 那么对基 <math>(x_1, \ldots, x_n)</math>的选择，通过性质<math>\omega(x_i,y_j) = \delta_{ij}.</math>决定了对应的一组对偶基. ===类比复结构=== {{RoughTranslation|En:Symplectic vector space#Analogy with complex structures}} 每一个辛结构都同构于一个形如''V'' ⊕ ''V''<sup>∗</sup>的形式，（某个向量空间上的）每一个[[复流形|复结构]]都同构于一个形如''V'' ⊕ ''V''<sup>∗</sup>的形式。利用这些结构，一个''n''-维流形的[[切丛]],看做一个2''n''-维流形,拥有一个[[殆复流形|殆复结构]],并且一个''n''-维流形[[余切丛]],看做一个2''n''-维流形,拥有一个辛结构: <math>T_*(T^*M)_p = T_p(M) \oplus (T_p(M))^*.</math> 拉格朗日子空间在复空间中的类似物是其实部构成的实子空间，这个实子空间的复化则是全空间''W'' = ''V'' ⊕ ''J''''V''。 ==体积形式== 设 ω 是一个 ''n''-维实向量空间 ''V'' 上的[[外形式|形式]]，ω ∈ Λ<sup>2</sup>(''V'')。那么 ω 非退化当且仅当 ''n'' 是偶数，且 ω<sup>''n''/2</sup> = ω ∧ … ∧ ω 是一个[[体积形式]]。''n''-维向量空间 ''V'' 上的体积形式是（惟一） ''n''-形式 ''e''<sub>1</sub><sup>∗</sup> ∧ … ∧ ''e''<sub>''n''</sub><sup>∗</sup> 非零乘积，这里 ''e''<sub>''i''</sub> 是 ''V'' 上的标准基。 对上一节定义的标准基，我们有 :<math>\omega^n=(-1)^{n/2} x^*_1\wedge\ldots \wedge x^*_n \wedge y^*_1\wedge \ldots \wedge y^*_n.</math> 重排即 :<math>\omega^n= x^*_1\wedge y^*_1\wedge \ldots \wedge x^*_n \wedge y^*_n.</math> 定义<ref>不同作者有不同偏好。</ref> ω<sup>''n''</sup> 或 (−1)<sup>''n''/2</sup>ω<sup>''n''</sup> 为'''标准体积形式'''。也许会有一个因子 ''n''!，这取决于[[外形式]]定义的反对称化是否包含因子 ''n''!。体积形式定义了辛向量空间 (''V'', ω) 的一个[[定向 (几何)|定向]]。 ==辛映射== 假设 <math>(V,\omega)</math> 和 <math>(W,\rho)</math> 是辛向量空间，那么[[线性映射]] <math>f:V\rightarrow W</math> 称为一个'''辛映射'''[[当且仅当]][[拉回]] <math>f^*</math> 保持辛形式，即 <math>f^*\rho=\omega</math> 。拉回形式的定义为： :<math>f^*\rho(u,v)=\rho(f(u),f(v))</math> 从而 ''f'' 是一个辛映射当且仅当 :<math>\rho(f(u),f(v))=\omega(u,v)</math> 对 ''V'' 中所有 ''u'' 和 ''v'' 成立。特别的，辛映射保持体积形式，保定向，是[[同构]]。 ==辛群== 如果 ''V'' = ''W''，则一个辛映射称为 ''V'' 上的'''线性辛变换'''。特别的，在这种情形我们有： :<math>\omega(f(u),f(v)) = \omega(u,v)\;,</math> 从而[[线性变换]] ''f'' 保持辛形式。所有辛变换的集合组成一个[[群]]，且是一个[[李群]]，称为[[辛群]]，记作 Sp(''V'') 或者 Sp(''V'',ω) 。辛变换的矩阵形式由[[辛矩阵]]给出。 ==子空间== 设 ''W'' 是 ''V'' 的一个[[线性子空间]]，定义 ''W'' 的'''辛补'''（空间）为子空间： :<math>W^{\perp} = \{v\in V \mid \omega(v,w) = 0\;</math>对所有 <math>w\in W\}.</math> 辛补满足 :<math>(W^{\perp})^{\perp} = W</math> 和 :<math>\dim W + \dim W^\perp = \dim V.</math> 但是，不像[[正交补]]， ''W''<sup>⊥</sup> ∩ ''W'' 不一定为 {0}。我们讨论四种情形： * ''W'' 是'''辛'''子空间，如果 ''W''<sup>⊥</sup> ∩ ''W'' = {0}。当且仅当 ω 在 ''W'' 上的限制是非退化时成立。带有限制形式的一个辛子空间本身也是一个辛向量空间。 * ''W'' 是'''迷向'''子空间，如果 ''W'' ⊆ ''W''<sup>⊥</sup>。当且仅当 ω 限制在 ''W'' 上为 0 时成立。任何 1-维子空间都是迷向的。 * ''W'' 是'''余迷向'''子空间，如果 ''W''<sup>⊥</sup> ⊆ ''W''。 ''W'' 是余迷向的当且仅当ω 在[[商空间 (线性代数)|商空间]] ''W''/''W''<sup>⊥</sup> 上非退化。等价地 ''W'' 是余迷向的当且仅当 ''W''<sup>⊥</sup> 是迷向的。任何[[余维数]]为 1 的子空间都是余迷向的。 * ''W'' 是'''拉格朗日'''子空间，如果 ''W'' = ''W''<sup>⊥</sup>。一个子空间是拉格朗日的当且仅当它既是迷向又是余迷向的。在有限维向量空间，一个拉格朗日子空间是维数为 ''V'' 之一半的迷向子空间。任何迷向子空间可以扩充为一个拉格朗日子空间。 对上面的标准向量空间 '''R'''<sup>2''n''</sup>， * 由 {''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>} 生成的子空间是辛子空间； * 由 {''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>} 生成的子空间是迷向子空间； * 由 {''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, …, ''x''<sub>''n''</sub>, ''y''<sub>1</sub>} 生成的子空间是余迷向子空间； * 由 {''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, …, ''x''<sub>''n''</sub>} 生成的子空间是拉格朗日子空间。 ==其它性质== 注意到辛形式满足[[正则对易关系]]，从而辛向量空间的加法群有个[[群扩张#中心扩张|中心扩张]]，这个中心扩张恰是[[海森伯群]]。 ==又见== * [[辛流形]]是每一點的[[切空間]]上帶有光滑“閉”辛形式的[[光滑流形]]； * [[辛表示]]是一個群元素的作用都是辛變換的[[群表示論|群表示]]； * [[马斯诺夫指标]]。 ==脚注与参考== <references /> *[[Ralph Abraham]] and Jarrold E. Marsden, ''Foundations of Mechanics'', (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X ''See chapter 3''. *J.柯歇尔、邹异明，辛几何引论，科学出版社，1999年2月。 [[Category:线性代数|X]] [[Category:辛几何|X]] [[Category:双线性形式|X]]
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