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在[[数学]]中，一个'''辛同胚'''（{{lang|en|symplectomorphism}}）是[[辛流形]][[范畴 (数学)|范畴]]中的一个[[同构]]。

==正式定义==

具体地，设 (''M''<sub>1</sub>, &omega;<sub>1</sub>) 与 (''M''<sub>2</sub>, &omega;<sub>2</sub>) 是辛流形。一个映射

:''f'' : ''M''<sub>1</sub> &rarr; ''M''<sub>2</sub> 

是一个辛同胚如果它是一个[[微分同胚]]且 &omega;<sub>2</sub> 在 ''f'' 下的[[拉回 (微分几何)|拉回]]等于 &omega;<sub>1</sub>：
:<math>f^{*}\omega_2 = \omega_1.\,</math>

辛同胚的例子包括[[经典力学]]与[[理论物理]]中的[[正则变换|典范变换]]，与任何[[哈密顿函数]]相伴的[[流 (数学)|流]]，[[余切丛]]上由流形的微分同胚诱导的映射，以及[[李群]]的一个[[余伴随轨道]]在一个群元素下的余伴随作用。
== 例子 ==
* <math>\mathbf{R}^n</math> 中的平移是辛同胚。

==流==

由定义，[[辛流形]]上任何光滑函数给出一个[[哈密顿向量场]]，且这样向量场的集合组成[[辛向量场]][[李代数]]的一个子代数。一个辛向量场的流的积分是一个辛同胚。因为辛同胚保持辛 2-形式，从而也保持辛体积，于是有[[哈密顿力学]]中的[[刘维尔定理 (哈密顿力学)|刘维尔定理]]。由哈密顿向量场生成的辛同胚也成为哈密顿辛同胚。

因为

:{''H'',''H''} = ''X''<sub>''H''</sub>(''H'') = 0，

哈密顿向量场的流也保持 ''H''。在物理学中这解释为[[能量]]守恒。

如果一个连通辛流形的第一个[[贝蒂数]]等于零，辛向量场与哈密顿向量场重合，所以哈密顿同痕与辛同痕的概念重合。

{{le|测地线作为哈密顿流|Geodesics as Hamiltonian flows|测地线的方程可以表述为一个哈密顿流}}。

== （哈密顿）辛同胚群 ==

从一个流形到自身的辛同胚组成一个无限维[[伪群]]。相应的[[李代数]]由辛向量空间组成。哈密顿辛同胚形成一个子群，它的李代数由哈密顿向量场给出。后者同构于光滑函数关于流形上[[泊松括号]]的李代数模去常数。

由{{le|奥古斯汀·班亚嘎|Augustin Banyaga|班亚嘎}}的一个定理，哈密顿微分同胚群是[[单李群|单群]]。它们有由[[霍弗尔范数]]（Hofer norm）给出的自然几何。某些简单辛[[四维流形]]（比如[[球面]]的乘积）的辛同胚群的[[同伦型]]可用[[伪全纯曲线]]的[[米凯尔·格罗莫夫|格罗莫夫]]定理计算出来。

==与黎曼几何比较==

不像[[黎曼几何]]，辛流形不是非常具有刚性：[[达布定理 (微分几何)|达布定理]]说明所有辛流形是局部同构的。与之对比地说，黎曼几何中的等距必须保持[[黎曼曲率张量]]，这是黎曼流形的一个局部不变量。而且，辛流形上任何函数 ''H'' 定义了一个[[哈密顿向量场]] ''X''<sub>''H''</sub>，其指数映射为哈密顿微分拓扑的[[单参数群]]。从而辛同胚群总是非常大的，无穷维。另一方面，黎曼流形的[[等距]]群总是一个（有限维）[[李群]]。进一步，具有大对称群的黎曼流形是非常特别的，一般黎曼流形没有非平凡对称。

==量子化==
量
辛同胚的有限维子群（一般在 <math>\hbar</math>-形变后）在[[希尔伯特空间]]上的表示称为子化。当李群是由一个哈密顿量定义的，它称为一个“由能量量子化”。从[[李代数]]到连续线性算子李代数对应的算子通常也称为量子化；这是物理学中更常见的方式。参见[[外尔量子化]]、[[几何量子化]]、[[非交换几何]]。

==阿诺尔德猜想==

[[弗拉基米尔·阿诺尔德|阿诺尔德]]的一个著名猜想是关于 ''M'' 上一个哈密顿辛同胚 ''f'' 的[[不动点]]的最小数，当 ''M'' 是一个[[闭流形]]变为[[莫尔斯理论]]。更确切地，此猜想说 ''f'' 起码不少于 ''M'' 上一个光滑函数的[[奇点 (几何)|奇点]]个数（理解为“一般”情形，[[莫尔斯函数]]，这是有至少为 2 的有限数）。

这个猜想可由[[阿诺尔德-吉文特尔猜想]]得出。后者是以阿诺尔德与{{le|亚历山大·吉文特尔|Alexander Givental}}命名的，它是关于[[拉格朗日子流形]]的一个论断。通过构造辛[[弗洛尔同调]]，这在许多情形已经被证明了。

== 另见 ==
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== 参考文献 ==

* Dusa McDuff and D. Salamon: ''Introduction to Symplectic Topology'' (1998) Oxford Mathematical Monographs, ISBN 0-19-850451-9.
* [[Ralph Abraham]] and [[Jerrold E. Marsden]], ''Foundations of Mechanics'', (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X ''See section 3.2''.

;辛同胚群：
* Gromov, M. Pseudoholomorphic curves in symplectic manifolds.  Invent. Math.  82  (1985),  no. 2, 307--347. 
* Polterovich, Leonid.  The geometry of the group of symplectic diffeomorphism.  Basel ; Boston : Birkhauser Verlag, 2001.

[[Category:辛拓扑]]
[[Category:哈密顿力学]]