查看“︁辐角原理”︁的源代码

[[File:argument principle1.png|frame|right|围道 <math>C</math>（黑色），<math>f</math> 的零点（蓝色）以及 <math>f</math> 的极点（红色）。]]

在[[复分析]]中，'''辐角原理'''（{{lang|en|Argument principle}}）或称'''柯西辐角原理'''（{{lang|en|Cauchy's argument principle}}）说如果 <math>f(z)</math> 是在某个围道 <math>C</math> 上以及内部一个[[亚纯函数]]，且 <math>f</math> 在 <math>C</math> 上没有[[零点]]或[[极点]]，则下列公式成立
: <math>\oint_{C} {f'(z) \over f(z)}\, dz=2\pi \mathrm{i} (N-P)</math>
这里 <math>N</math> 与 <math>P</math> 分别表示 <math>f(z)</math> 在围道 <math>C</math> 内部的零点与极点个数，每个零点计[[重数]]，极点计[[极点|阶数]]。定理的陈述假设围道 <math>C</math> 是简单的，即没有自交，以及它是逆时针方向定向的。

更一般地，假设 <math>C</math> 是一条曲线，逆时针方向定向，在[[复平面]]中一个[[开集]] <math>\Omega</math> 中[[可缩空间|可缩]]为一点。对每个 <math>z\in\Omega</math>，令 <math>n(C,z)</math> 是 <math>C</math> 绕点 <math>z</math> 的[[卷绕数]]。则
:<math>\oint_{C} \frac{f'(z)}{f(z)}\, dz = 2\pi \mathrm{i} \left(\sum_a n(C,a) - \sum_b n(C,b)\right),</math>
这里第一个求和对 <math>f</math> 所有零点 <math>a</math> 进行并计重数，第二个求和在 <math>f</math> 的所有极点 <math>b</math> 上进行并计重数。

== 证明 ==

设 <math>z_N</math> 是 <math>f</math> 的一个零点。我们可将 <math>f</math> 写成 <math>f(z)=(z-z_N)^kg(z)</math> 这里 <math>k</math> 是零点<math>z_N</math>的重数，从而
<math>g(z_N)\neq 0</math>。我们有
: <math>f'(z)=k(z-z_N)^{k-1}g(z)+(z-z_N)^kg'(z)\,\!</math>
以及
: <math>{f'(z)\over f(z)}={k \over z-z_N}+{g'(z)\over g(z)}.</math>
因  <math>g(z_N)\neq 0</math>， <math>\frac{g'(z)}{g(z)}</math>在 
<math>z_N</math> 没有奇点，从而在 <math>z_N</math> 解析，这意味着 
<math>\frac{f'(z)}{f(z)}</math> 在 <math>z_N</math> 的[[留数]]是 <math>k</math>。

设 <math>z_P</math> 是 <math>f</math> 的一个极点。我们可写成 <math>f(z)=(z-z_P)^{-m}h(z)</math> 这里 <math>m</math> 是极点<math>z_P</math>的阶数，从而
<math>h(z_P)\neq 0</math>。我们有
: <math>f'(z)=-m(z-z_P)^{-m-1}h(z)+(z-z_P)^{-m}h'(z)\,\!.</math>
以及
: <math>{f'(z)\over f(z)}={-m \over z-z_P}+{h'(z)\over h(z)}</math>
因为 <math>h(z_P)\neq 0</math>， <math>\frac{h'(z)}{h(z)}</math> 在 <math>z_P</math> 没有奇点，从而在 <math>z_P</math> 解析。我们发现 
<math>\frac{f'(z)}{f(z)}</math> 在 <math>z_P</math> 的留数是 <math>-m</math>。

将它们放在一起，<math>f</math> 的每个 <math>k</math> 重零点 <math>z_N</math> 产生 
<math>\frac{f'(z)}{f(z)}</math> 的一个留数为 <math>k</math> 的单极点，而 <math>f</math> 的每个 <math>m</math> 阶极点 <math>z_P</math> 产生 <math>\frac{f'(z)}{f(z)}</math> 的一个留数为 <math>-m</math> 的单极点（这里一个单极点指一阶极点）。另外，可以证明 <math>\frac{f'(z)}{f(z)}</math> 没有其它极点，从而没有其它留数。 

由[[留数定理]]我们有关于 <math>C</math> 的积分是 <math>2\pi \mathrm{i}</math> 与这些留数之和的乘积。总之，每个零点 <math>z_N</math> 的 <math>k</math> 之和是计重数的零点个数，对极点类似，故我们得到了欲证之结论。

== 推论 ==
假设 <math>C</math> 是一个以原点为中心的闭围道，通过考虑 <math>f(z)</math> 关于 <math>0</math> 的[[卷绕数]]可得出一些推论。我们看到 <math>\frac{f'(z)}{f(z)}</math> 在 <math>C</math> 上的积分是 <math>\log f(z)</math> 值的变化。因为 <math>C</math> 是闭的我们只需考虑 <math>{\arg f(z)}\cdot\mathrm{i}</math> 在 <math>C</math> 上的变化，它将是 <math>2\pi\mathrm{i}</math> 的某个整数倍（但可能绕原点卷多圈）。但从辐角原理
: <math>\oint_C {f'(z) \over f(z)}\, dz=2\pi \mathrm{i} (N-P)</math>
约去因子 <math>2\pi \mathrm{i}</math>，我们得到
: <math>N-P = I(C, 0)</math>
这里 <math>I(C,0)</math> 表示 <math>f</math> 在 <math>C</math> 上关于 <math>0</math> 的[[卷绕数]]，且有<math>I(C,0)=\sum_a n(C,a)</math>，（这里的求和对 <math>f</math> 所有零点 <math>a</math> 进行并计重数）。

一个推论是更广泛的定理，在同样的假设下，如果 <math>g</math> 是 <math>\Omega</math> 中一个解析函数，则

:<math> \frac{1}{2\pi i} \oint_C g(z)\frac{f'(z)}{f(z)}\, dz = \sum_a n(C,a)g(a) - \sum_b n(C,b)g(b).</math>

例如，如果 <math>f</math> 是以一个简单围道 <math>C</math> 内部 <math>z_1,\dots,z_p</math> 为零点的[[多项式]]，以及<math>g)z)=z^k</math>，则
:<math> \frac{1}{2\pi i} \oint_C z^k\frac{f'(z)}{f(z)}\, dz = z_1^k+z_2^k+\dots+z_p^k,</math>
是 <math>f</math> 的根的[[對稱多項式#次方和對稱多項式|次方和對稱多項式]]。

另一个推论是如果我们计算复积分：
: <math>\oint_C f(z){g'(z) \over g(z)}\, dz,</math>

对一个合适的<math>f</math>，我们有{{link-en|阿贝尔-普兰纳公式|Abel–Plana_formula}}：

: <math>  \sum_{n=0}^{\infty}f(n)-\int_{0}^{\infty}f(x)\,dx= f(0)/2+i\int_{0}^{\infty}\frac{f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}\, dt ,</math>

这给出了一个离散和式与它的积分之间的关系。

== 历史 ==

按照[[弗兰克·史密西斯]]一书（''Cauchy and the Creation of Complex Function Theory'', Cambridge University Press, 1997）的说法，在[[奥古斯丁·路易·柯西]]从法国到[[都灵]]（当时[[皮德蒙特-萨丁尼亚王国]]的首都）的自我放逐途中，柯西于1831年11月2日提出了和上面类似的一个定理（见177页）。但是根据此书，只提到了零点，没有极点。柯西的这个定理在许多年后的1974年才以手写本发表，故很难阅读。柯西逝世两年前的1855年发表的一篇论文中，零点与极点都讨论了。定理 1 只涉及了零点。柯西1855年论文中的定理 2 说“一个单复变量函数 ''Z'' 的对数计量（''compteurs logarithmiques''，相当于现代教材中的对数留数）等于 Z 与 1/Z 根的个数之差（相当于现代教材中的函数 ''Z'' 的零点与极点）。从而现代“辐角原理”可在1855年柯西论文中作为一个定理发现。

=== 应用 ===

反馈控制理论的现代书籍中频繁用到辐角原理，将其作为[[奈奎斯特稳定性判据]]的理论基础。[[哈里·奈奎斯特]]1932年原理的论文（H. Nyquist, "Regeneration theory", Bell System Technical Journal, vol. 11, pp. 126-147, 1932）用一种相当笨拙与原始的方法得出奈奎斯特稳定性判据。在这篇论文中，奈奎斯特完全没有提到柯西的名字。后来，Leroy MacColl (Fundamental theory of servomechanisms, 1945) 与 [[Hendrik Bode]] (Network analysis and feedback amplifier design, 1945) 都从辐角原理得到了奈奎斯特稳定性判据。MacColl (Bell Laboratories) 将辐角原理称为柯西定理。这样辐角原理在纯粹数学与控制工程学中都有重大影响。现在，辐角原理可在[[复分析]]或[[控制工程学]]的现代教材中都可以找到。

== 参考文献 ==
* {{cite book|first = Lars|last = Ahlfors|title = Complex Analysis|url = https://archive.org/details/complexanalysisi0000ahlf_v7n1|publisher = McGraw Hill|year = 1979}}

== 外部链接 ==
* {{MathWorld | urlname= ArgumentPrinciple | title= Argument Principle }}
* [https://web.archive.org/web/20061209225331/http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/RoucheTheoremMod.html Module for the Argument Principle by John H. Mathews]
* [http://demonstrations.wolfram.com/AnIllustrationOfTheArgumentPrinciple/ An Illustration of the Argument Principle] {{Wayback|url=http://demonstrations.wolfram.com/AnIllustrationOfTheArgumentPrinciple/ |date=20190913160649 }} by Keith Schneider, [[The Wolfram Demonstrations Project]].

== 相关条目 ==
* [[儒歇定理]]
* [[路径积分]]
* [[奈奎斯特稳定性判据]]
* [[奥古斯丁·路易·柯西]]

[[Category:复分析定理]]