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{{NoteTA|G1=Math}}
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[[数学]]中，[[复数 (数学)|複數]]的'''辐角'''是指复数在[[复平面]]上对应的[[向量]]和正向[[实数]]轴所成的有向[[角]]。复数的辐角值可以是一切实数，但由于相差<math>360^\circ</math>（即[[弧度]]<math>2 \pi</math>）的辐角在实际应用中没有差别，所以定义复数的'''辐角主值'''为辐角[[同余|模]]<math>360^\circ</math>（<math>2 \pi</math>）后的[[余数]]，定义取值范围在<math>0^\circ</math>到<math>360^\circ</math>（<math>2 \pi</math>）之间。复数的辐角是复数的重要性质，在不少理论中都有重要作用。

== 定义 ==
[[File:Complex number illustration multiarg.svg|thumb|right|220px|复数辐角的直观示意图]]
设有非零复数<math>z \in \mathbb{C}\setminus \{ 0 \}</math>，记作<math>z = x + yi</math>，其中的<math>x</math>和<math>y</math>为实数，那么复数<math>z</math>的辐角<math>\varphi</math>指的是使下列等式：
:<math>z = x + yi = \sqrt{x^2 + y^2}(\cos \varphi + i \sin \varphi)</math>
成立的任何实数<math>\varphi</math>。直观上来说，假设非零复数<math>z</math>在复平面<math>O_{xy}</math>中对应的向量是<math>\overrightarrow{OP}</math>（右图蓝色向量），那么它的辐角是所有能够描述正实数轴到<math>\overrightarrow{OP}</math>的转角的有向角。其中有向角的正方向规定为逆时针方向。图中可以看出，相差<math>2 \pi</math>的倍数的角都可以是辐角。这个性质也可以从[[三角函数]]<math>\cos</math>和<math>\sin</math>是以<math>2 \pi</math>为周期的[[周期函数]]中推导出来。

只有非零复数才有辐角，复数<math>0</math>的辐角是没有定义的。

== 辐角主值 ==
同一个复数的辐角有[[无穷]]多个，以集合表示为<math>\{ \varphi + 2k \pi \, | \, k \in \mathbb{Z} \}</math>，而对于所有<math>\varphi_k = \varphi + 2k \pi</math>，<math>\cos \varphi_k + i \sin \varphi_k</math>都相同，所以实际只需要以其中一个辐角为代表，此辐角称为'''辐角主值'''或'''主辐角'''，记作<math>\operatorname{Arg}(z)</math>。一般约定使用[[区间]]<math>(-\pi, \pi]</math>中的值作为辐角主值（也有另一种常见的约定是以区间<math>[0, 2 \pi)</math>中的值作为辐角主值）。如果复数的辐角主值是<math>\operatorname{Arg}(z)</math>，那么它的所有辐角值就是：
:<math>\arg(z) = \{ \operatorname{Arg}(z) + 2k \pi \, | \, k \in \mathbb{Z} \}</math>

注意：也有書籍記載的 <math>\arg(z)</math> 和 <math>\operatorname{Arg}(z)</math> 定義是倒轉的。

== 辐角的计算 ==
给定一个形如<math>z = x + yi</math>的非零复数，辐角主值<math>\operatorname{Arg}(z)</math>是将它[[映射]]到区间<math>(-\pi, \pi]</math>中的[[函数]]。辐角主值函数可以用[[反三角函数]]来描述：
:<math>\operatorname{Arg}(x + yi) =
\begin{cases}
\arccos \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} & y > 0 \\
-\arccos \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} & y < 0 \\
0 & x > 0 \land y = 0 \\
\pi & x < 0 \land y = 0 \\
\end{cases}
</math>

或者配合[[半角公式]]：
:<math>
\operatorname{Arg}(x + yi) =
\begin{cases}
2 \arctan \dfrac{y}{\sqrt{x^2 + y^2} + x} & y \ne 0 \\
0 & x > 0 \land y = 0 \\
\pi & x < 0 \land y = 0 \\
\end{cases}
</math>

== 性质 ==
[[复数 (数学)|复数]]<math>z</math>的一个辐角<math>\varphi \in \arg(z)</math>和[[绝对值]]<math>|z|</math>可以用来组成复数的[[极坐标]]形式：
:<math>z = |z|e^{i\varphi}</math>。
在极坐标形式下计算，可以得到复数乘积和商的辐角的规律：
:<math>\operatorname{Arg}(z_1 z_2) = \operatorname{Arg}(z_1) + \operatorname{Arg}(z_2) \pmod{(-\pi, \pi]}</math>
:<math>\operatorname{Arg} \left( \frac{z_1}{z_2} \right) = \operatorname{Arg}(z_1) - \operatorname{Arg}(z_2) \pmod{(-\pi, \pi]}</math>
于是对复数[[幂次]]的辐角也有：
:<math>\operatorname{Arg}(z^n) = n\operatorname{Arg}(z) \pmod{(-\pi, \pi]}</math>
复数的[[共轭复数|共轭]]的辐角则满足：
:<math>\operatorname{Arg}(\overline{z}) = -\operatorname{Arg}(z) \pmod{(-\pi, \pi]}</math>

== 参考来源 ==
{{refbegin}}
* {{cite book | last = Ahlfors | first = Lars | title = Complex analysis: an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable | url = https://archive.org/details/complexanalysisi0000ahlf_v7n1 | edition = 3rd | location = New York, London | publisher = McGraw-Hill | date = 1979 | isbn = 0-07-000657-1
}}
* {{cite book | last = Beardon | first = Alan | title = Complex analysis: the argument principle in analysis and topology | location = Chichester | publisher = Wiley | year = 1979 | isbn = 0-471-99671-8
}}
* {{cite book | last1 = Borowski | first1 = Ephraim | last2 = Borwein | first2 = Jonathan | title = Mathematics | url = https://archive.org/details/collinsdictionar0000boro | series = Collins Dictionary | date = 2002 | origyear = 1st ed. 1989 as ''Dictionary of Mathematics'' | isbn = 0-00-710295-X | edition = 2nd | publisher = [[HarperCollins]] | location = Glasgow}}
{{refend}}

{{三角函數}}
[[category:角]]
[[category:复数]]