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|G1=Astronomy
|G2=Mathematics
}}

'''輻射轉移'''（{{Lang-en|radiative transfer}}）是以[[電磁輻射]]形式進行能量轉移的物理現象。經由介質傳播的輻射會受到[[吸收 (光學)|吸收]]、[[發射 (電磁輻射)|發射]]和[[散射]]的影響。輻射轉移方程式就是以數學方式描述這些交互作用。描述輻射轉移現象的方程式稱為'''輻射轉移方程式'''（{{Lang-en|radiative transfer equation|label=none}}，{{Lang|en|RTE}}），它被廣泛應用在[[光學]]、[[天文物理學]]、[[大氣科學]]和[[遙測]]上。輻射轉移方程式在簡單狀況下存在[[解析解]]，但在實際狀況下常包含複雜的多重散射效應，此時必須使用[[數值解|數值方式]]求解。

== 輻射場 ==
輻射轉移現象所描述的對象為輻射場（{{Lang-en|radiation field|label=none}}），而輻射場通常表達成{{Link-en|譜輻射率|Spectral radiance}}（{{lang|en|spectral radiance}}）{{NoteTag|對於輻射相關的物理量而言，「譜」字（spectral）通常意味著該物理量是關於[[波長]]或[[頻率 (物理學)|頻率]]的導數；如果是對頻率微分，記號通常會加一個下標 <math>\nu</math>；如果是對波長微分，記號通常會加一個下標 <math>\lambda</math>。}}關於位置 <math>\mathbf{r}</math>、方向 <math>\hat{\mathbf{n}}</math> 和時間 <math>t</math> 的的函數，寫成 <math>I_\nu( \mathbf{r},\hat{\mathbf{n}},t)</math><ref>{{Cite book|title=Astrophysics for Physicists|last=Choudhuri|first=Arnab Rai|publisher=Cambridge University Press|year=2010|isbn=978-0-511-67742-7|location=Cambridge|url=https://crossfield.ku.edu/A391_2020A/Choudhuri_Textbook.pdf|accessdate=2024-01-09|language=en|page=24|archive-date=2024-01-09|archive-url=https://web.archive.org/web/20240109134239/https://crossfield.ku.edu/A391_2020A/Choudhuri_Textbook.pdf|dead-url=no}}</ref>。

譜輻射率 <math>I_\nu</math> 的定義如下。考慮一個位於 <math>\mathbf{r}</math> 的單位面積 <math>\operatorname{d}\!a</math>，如果在單位時間 <math>\operatorname{d}\!t</math> 內，有輻射能量 <math>\operatorname{d}\!E_\nu</math> 從單位[[立體角]] <math>\operatorname{d}\!\Omega</math> 流經單位面積 <math>\operatorname{d}\!a</math>，且頻率介於 <math>\nu</math> 和 <math>\nu + {\operatorname{d}\!\nu}</math> 這個區間之內（輻射的[[極化]]在這裡被忽略），則
:<math>\operatorname{d}\!E_\nu = I_\nu(\mathbf{r},\hat{\mathbf{n}},t) \cos{\theta}\, {\operatorname{d}\!a}\,{\operatorname{d}\!\Omega}\,{\operatorname{d}\!t}\, {\operatorname{d}\!\nu}</math>，
其中 <math>\theta</math> 是輻射的單位向量 <math>\hat{\mathbf{n}}</math> 和單位面積[[法向]]的夾角。譜輻射率的單位是以能量/(時間⋅面積⋅立體角⋅頻率)表示，在[[MKS单位制]]中，就是W·m<sup>-2</sup>·sr<sup>-1</sup>·Hz<sup>-1</sup>。

當一個區域內所有的點在所有方向上某一時刻的 <math>I_\nu( \mathbf{r},\hat{\mathbf{n}},t)</math> 都被指定，就構成一個輻射場。另外，譜輻射率為[[辐射度量学|輻射度量學]]名詞，在傳統天文學領域常常稱為'''比強度'''（{{lang|en|specific intensity}}）。

== 輻射轉移方程式 ==
輻射轉移方程式是譜輻射率的[[微分方程式]]。先考慮一維的情形，令 <math>s</math> 是沿著輻射路徑傳播的距離；假如輻射通過[[真空]]，則它的譜輻射率不隨著輻射傳遞而改變，於是有
:<math>{\operatorname{d}\!{I_\nu}\over\operatorname{d}\!s}=0</math>。
現在考慮輻射通介質，則有三種交互作用會導致輻射轉移：

* 因為[[吸收 (光学)|吸收]]（{{Lang|en|absorption}}）而失去能量
* 因為[[發射 (電磁輻射)|發射]]（{{Lang|en|emission}}）而獲得能量
* 因為[[散射]]（{{Lang|en|scattering}}）而重新分配能量

所以輻射轉移方程式可寫為
:<math>{\operatorname{d}\!{I_\nu}\over\operatorname{d}\!s}=j_\nu-\alpha_\nu I_\nu</math>。
此處 <math>j_\nu</math> 是物質的譜[[發射係數]]{{NoteTag|MKS制單位為W·m<sup>−2</sup>·sr<sup>−1</sup>·Hz<sup>−1</sup>。}}，<math>\alpha_\nu</math> 是物質的[[衰減係數#頻譜線性衰減係數|譜衰減係數]]{{NoteTag|MKS制單位為m<sup>−1</sup>，又常被稱為[[不透明度]]（{{lang|en|opacity}}）。}}，而且可寫成 <math>\alpha_\nu = \alpha_{\nu,{\rm a}} + \alpha_{\nu,{\rm s}}</math>，下標裡的 a 與 s 分別表示與吸收和散射的成分。在天文物理學中，常引入[[光深度]] <math>\tau</math> 的概念；對上式使用 <math>\operatorname{d}\!\tau = \alpha \operatorname{d}\!s</math> 進行變數變換，可得到
:<math>{\operatorname{d}\!{I_\nu}\over\operatorname{d}\!\tau_\nu}=S_\nu-I_\nu</math>，
其中 <math>S_\nu \equiv j_\nu/\alpha_\nu </math> 是{{Link-en|源函數|Source function}}<ref>{{Cite web|last=Dullemond|first=C.P.|date=2012-07-28|title=Chapter 3: Formal transfer equation|url=https://www.ita.uni-heidelberg.de/~dullemond/lectures/radtrans_2012/Chapter_3.pdf|url-status=no|access-date=2024-01-09|website=Radiative transfer in astrophysics (Master/PhD Course)|archive-date=2023-06-01|archive-url=https://web.archive.org/web/20230601020644/https://www.ita.uni-heidelberg.de/~dullemond/lectures/radtrans_2012/Chapter_3.pdf}}</ref>。當所有頻率 <math>\nu</math> 的源函數都等於譜輻射率的時候，可得到 <math>{\operatorname{d}\! I} / {\operatorname{d}\!s}=0</math>，彷彿輻射是通過真空一樣，這就是'''輻射平衡'''（{{Lang|en|radiative equilibrium}}）條件。

如果考慮三維情形，輻射轉移方程式可寫為<ref>{{Cite web|title=放射輸送|url=https://astro-dic.jp/radiative-transfer/|archive-url=https://web.archive.org/web/20190601000000*/https://astro-dic.jp/radiative-transfer/|archive-date=2019-06-01|website={{lang|ja|天文学辞典}}|publisher={{lang|ja|日本天文学会}}|language=ja}}</ref><ref>{{Cite web|last=McLinden|first=Chris|date=1999-07-22|title=The Equation of Radiative Transfer|url=https://www.ess.uci.edu/~cmclinden/link/xx/node23.html|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20080315204510/https://www.ess.uci.edu/~cmclinden/link/xx/node23.html|archive-date=2008-03-15|language=en}}</ref>
:<math>\left[\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t} + \left(\hat{\mathbf{n}} \cdot \nabla\right)\right] I_\nu =  j_\nu - (\alpha_{\nu, {\rm a}}+\alpha_{\nu, {\rm s}}) I_\nu + \frac{\alpha_{\nu,{\rm s}}}{4\pi} \int_\Omega I_\nu {\operatorname{d}\!\Omega}</math>，
其中 <math>c</math>是[[光速]]。等式左邊的微分算子用[[方向导数#法向导数|法向導數]]取代了對 <math>s</math> 的導數，還納入了 <math>I_\nu</math> 的時間導數；等式右邊第三項考量的是從四面八方散射而來的輻射，故取 <math>I_\nu</math> 的角度平均。

== 輻射轉移方程式的解 ==
求解輻射轉移方程式是非常耗力的工作。不過可以依據各種形式的吸收和發射係數，進行適當簡化。譬如說，如果將吸收和散射忽略，只考慮物質的發射，則一維輻射轉移方程式的通解可以寫成：
:<math>I_\nu(s)=I_\nu(s_0)\,e^{-\tau(s_0,s)}+\int_{s_0}^s j_\nu(s')\,
e^{-\tau(s',s)}{\operatorname{d}\!s'}</math>，
這裡的 <math>\tau(s_1,s_2)</math> 是兩個位置 <math>s_1</math> 和 <math>s_2</math> 中間介質的[[光深度]]：
:<math>\tau(s_1,s_2) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\   \int_{s_1}^{s_2} \alpha_\nu(s)\,ds</math>。

=== 局部熱力平衡 ===
一個特別有用的輻射轉移方程式簡化是'''局部熱力平衡'''（{{Lang|en|local thermodynamic equilibrium}}，{{Lang|en|LTE}}）狀態。這個狀態中，介質包含許多「局部」達到熱平衡的粒子，因此有一個可定義的溫度。但輻射場並非處在平衡狀態，並且是由大量存在的粒子驅動。在局部熱力平衡的介質中，發射係數和吸收係數只是溫度和密度函數，而且兩者的關係式為
:<math>\frac{j_\nu}{\alpha_\nu}=B_\nu(T)</math>，
其中 <math>B_\nu(T)</math> 是溫度 ''<math>T</math>'' 時的[[黑體輻射]]的譜輻射率（即[[普朗克黑体辐射定律|普朗克黑體輻射定律]]）。此時，輻射轉移方程式的解為
:<math>I_\nu(s)=I_\nu(s_0)e^{-\tau(s_0,s)}+\int_{s_0}^s B_\nu(T(s'))\alpha_\nu(s')
e^{-\tau(s',s)}\,{\operatorname{d}\!s'}</math>。
了解介質的溫度和密度剖面曲線之後，就足以計算輻射轉移方程式的解。

=== 愛丁頓近似 ===
愛丁頓近似（{{Lang|en|Eddington approximation}}）是輻射轉移方程式的一種近似解，適用於氣象學中的平面平行大氣（{{Lang|en|plane-parallel atmosphere}}）模型及天文學中的{{Link-en|灰色大氣|Grey atmosphere}}模型。在這些模型裡，大氣的各種熱力性質呈現層狀（{{Lang|en|slab-like}}）分布，換句話說，它們只會在垂直於層狀大氣的方向上（定義為 <math>z</math> 軸）發生變化，而不會在平行方向上出現變化。<!-- 此處可考慮加入插圖 -->輻射路徑 <math>s</math> 上的變化量與 <math>z</math> 軸上的變化量的關係為{{Sfn|Choudhuri|2010|p=36}}
:<math>{\operatorname{d}\!s}=\frac{\operatorname{d}\!z}{\cos{\theta}}=\frac{\operatorname{d}\!z}{\mu}</math> 。
我們稍後會解說定義 <math>\mu=\cos\theta</math> 的作用。由於考慮的是平面平行大氣，所以我們預期譜輻射率也只是 <math>z</math> 和 <math>\mu</math> 的線性函數。使用變數變換 <math>{\operatorname{d}\!s}={\operatorname{d}\!z}/\mu</math> ，代入一維輻射轉移方程式，則有
:<math>\mu\frac{\partial {I_\nu}}{\partial z}=j_\nu-\alpha_\nu I_\nu</math>

另一方面，我們定義譜輻射率 <math>I_\nu</math> 關於 <math>\mu</math> 的第 <math>j</math> 階[[動差]]<ref name=":0">{{Cite journal |last=Huang |first=S.-S. |title=On the Eddington Approximation |journal=Astrophysical Journal |language=en |volume=152 |page=841 |bibcode=1968ApJ...152..841H |bibcode-access=free}}</ref><ref>{{Cite web|last=Owocki|first=Stan|date=2010-10-31|title=PHYS-633: Introduction to Stellar Astrophysics|url=https://www.bartol.udel.edu/~owocki/phys333/Phys633-notes1.pdf|url-status=no|access-date=2024-01-09|website=The Bartol Research Institute|archive-date=2024-01-09|archive-url=https://web.archive.org/web/20240109180236/https://www.bartol.udel.edu/~owocki/phys333/Phys633-notes1.pdf}}</ref>{{NoteTag|為了方便起見，以下輻射相關物理量中的下標 <math>\nu</math> 被省略了。}}：
:<math>M_{j} \equiv \frac{1}{2} \int^{+1}_{-1} \mu^j I(\mu) {\operatorname{d}\!\mu}</math>，
之所以引入動差的概念，是因為在平面平行大氣中，有許多輻射相關的物理量是 <math>\mu=\cos\theta</math> 的函數，只要使用變數變換 <math>{\operatorname{d}\!\mu}=-\sin{\theta}\; {\operatorname{d}\!\theta}</math> ，就可以在角度積分中簡化算式。具體來說，假設 <math>A(\cos{\theta})</math> 是任意 <math>\mu=\cos\theta</math> 的函數，則 <math>A(\cos{\theta})</math> 對於所有方向的立體角積分為{{Sfn|Choudhuri|2010|p=38}}
:<math>\int A(\cos{\theta}){\operatorname{d}\!\Omega} = \int^{2\pi}_{\phi=0} \int^\pi_{\pi=0} { A(\cos{\theta}) \sin{\theta}\, {\operatorname{d}\!\theta}\, {\operatorname{d}\!\phi}} = 2\pi\int^{+1}_{-1}{A(\mu)\,{\operatorname{d}\!\mu}}</math>。
<math>I</math> 關於 <math>\mu</math> 的前幾階動差是
:<math>J=\frac{1}{2}\int^1_{-1}{I (\mu) {\operatorname{d}\!\mu}} </math>，
:<math>H =\frac{1}{2}\int^{1}_{-1}{\mu I(\mu) {\operatorname{d}\!\mu}}</math>，
:<math>K=\frac{1}{2}\int^1_{-1}{\mu^2 I_\nu(\mu){\operatorname{d}\!\mu}}</math>。
此處 <math>J</math> 是輻射強度的角度平均（{{lang|en|angle-averaged intensity}}），它恰好與[[能量密度]] <math>U</math> 成正比；<math>H</math> 是愛丁頓通量（{{lang|en|Eddington flux}}），與{{Link-en|輻射通量|Radiative flux}} <math>F</math> 成正比；<math>K</math> 也與[[輻射壓]] <math>P</math> 成正比。

所謂的愛丁頓近似就是將平面平行大氣中的輻射場視為「近似於[[各向同性]]」<ref>{{Cite web|title=エディントン近似|url=https://astro-dic.jp/eddington-approximation/|archive-url=https://web.archive.org/web/20190323231847/https://astro-dic.jp/eddington-approximation/|archive-date=2019-03-13|website={{lang|ja|天文学辞典}}|publisher={{lang|ja|日本天文学会}}|language=ja}}</ref>、但是有關於 <math>\mu=\cos{\theta}</math> 的一階[[異向性]]，簡單來說，就是假定 <math>I</math> 關於 <math>\mu</math> 的[[泰勒级数|泰勒級數]]只保留到一次項，於是 <math>I</math> 成為 <math>\mu</math> 線性函數<ref>{{Cite book|title=''Radiative Process in Astrophysics''|last=Rybicki|first=George B.|publisher=Wiley-VCH|year=2004|isbn=978-0-471-82759-7|last2=Lightman|first2=Alan P.|url=https://www.bartol.udel.edu/~owocki/phys633/RadProc-RybLightman.pdf|accessdate=2024-01-09|origyear=1979|page=42|language=en|archive-date=2023-11-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20231107052411/https://www.bartol.udel.edu/~owocki/phys633/RadProc-RybLightman.pdf|dead-url=no}}</ref>：
:<math>I(z, \mu) = a(z) + b(z) \mu</math>。
將這個函數代入上述動差的公式，可以得到 
:<math>J=a(z),\quad\,H=\frac{b(z)}{3},\quad K=\frac{a(z)}{3} </math>。
於是得到愛丁頓近似的重要結果：
:<math>K=\frac{J}{3}</math>。

這等價於各項同性輻射場的重要條件 <math>P=U/3</math>，不過差別在於愛丁頓近似適用於稍微具有異向性的輻射場。愛丁頓近似是由天文學家[[亚瑟·爱丁顿|亞瑟·愛丁頓]]在研究[[恆星大氣層|恆星大氣]]時所提出<ref>{{Cite journal |last=Eddington |first=A.S. |author-link=亚瑟·爱丁顿 |date=1920 |title=The Internal Constitution of the Stars |url=https://archive.org/details/sim_nature-uk_1920-09-02_106_2653/page/n16 |journal=Nature |language=en |volume=106 |page=14–20 |doi=10.1038/106014a0}}</ref><ref name=":0" />。

<!--愛丁頓近似的高階版本也是存在的，並且包含更複雜的強度線性關係。這額外的公式可以作為截斷系統的封閉關係。

請注意，前兩個部分有簡單的物理意義。<math>J_\nu</math>是一個點上的各同向性強度，而<math>H_\nu</math>是經由該點<math>z</math>方向的流量。

在局部熱力學平衡下的各同向性散射大氣層狀況下的輻射轉移方程式是：
:<math>\mu \frac{dI_\nu}{dz}=- \alpha_\nu (I_\nu-B_\nu) +  \sigma_{\nu}(J_\nu -I_\nu)</math>

積分所有的角度可得知：
:<math>\frac{dH_\nu}{dz}=\alpha_\nu (B_\nu-J_\nu)</math>
自左方乘上<math>\mu</math>，接著積分所有的角度可得到：
:<math>\frac{dK_\nu}{dz}=-(\alpha_\nu+\sigma_\nu)H_\nu</math>

以封閉關係取代，並進行<math>z</math>方向相關積分讓以上兩個公式合併成輻射擴散方程式：
:<math>\frac{d^2J_\nu}{dz^2}=3\alpha_\nu(\alpha_\nu+\sigma_\nu)(J_\nu-B_\nu)</math>

該方程式表示了在散射為主的系統中，光深度的效果會和散射不透明造成的效果明顯不同，如果吸收不透明度小的話。
-->
愛丁頓近似與{{Link-en|雙流近似|two-stream approximation}}不同。雙流近似是假設空間分為兩塊區域，輻射在其中一邊固定以某方向傳播，在另一邊固定以另一方向傳播。

==參見==
* [[吸收 (光學)]]
* [[原子谱线]]
* [[比尔－朗伯定律]]
* [[發射光譜]]
* [[大氣輻射轉移模型]]
* {{Link-en|譜輻射率|Spectral radiance}}（{{Link-en|輻射比強度|Specific intensity}}）
* [[辐射率]]
* [[希沃特积分]]

== 註腳 ==
{{NoteFoot}}

==延伸閱讀==
* {{cite book|author=Chandrasekhar|title=''Radiative Transfer''|url=https://archive.org/details/radiativetransfe0000scha|publisher=Dover|year=1960|isbn=978-0-486-60590-6|page=|first=Subrahmanyan|authorlink=苏布拉马尼扬·钱德拉塞卡|location=New York}}
* {{cite book|author=Lenoble|title=''Radiative Transfer in Scattering and Absorbing Atmospheres: Standard Computational Procedures''|publisher=A. Deepak|year=1986|isbn=978-0937194058|page=|first=Jacqueline}}
* {{cite book|author=Grant William|title=''A First Course in Atmospheric Radiation''|publisher=Sundog|year=2006|isbn=9780972903318|edition=2nd edition, illustrated|url=|first=Petty|location=Madison|origyear=2004}}
* {{cite book|author=Mihalas|title=''Foundations of Radiation Hydrodynamics''|publisher=Oxford University Press|year=1984|isbn=0-486-40925-2|first=Dimitri|url=https://archive.org/details/mihalas-mihalas-radiation-hydrodynamics-1984|authorlink=德米特里·米哈拉斯|last2=Weibel-Mihalas|first2=Barbara}}
* {{cite book|author=Thomas|title=''Radiative Transfer in the Atmosphere and Ocean''|publisher=Cambridge University Press.|year=1999|isbn=0-521-40124-0|first=Gary. E.|location=Cambridge|last2=Stamnes|first2=Knut|url=https://books.google.de/books?id=DxR2nEp0CUIC&lpg=PR21&ots=ShDziImhE4&lr&pg=PA131#v=onepage&q&f=false|language=en|access-date=2024-01-09|archive-date=2024-01-09|archive-url=https://web.archive.org/web/20240109180258/https://books.google.de/books?id=DxR2nEp0CUIC&lpg=PR21&ots=ShDziImhE4&lr&pg=PA131#v=onepage&q&f=false|dead-url=no}}
* {{Cite web|last=McLinden|first=Chris|date=1999-07-22|title=Radiative Transfer|url=https://www.ess.uci.edu/~cmclinden/link/xx/node8.html|archive-url=https://web.archive.org/web/20220131143743/https://www.ess.uci.edu/~cmclinden/link/xx/node8.html|archive-date=2022-01-13|language=en}}

==參考資料==
{{Reflist|2}}

{{Normdaten}}

[[Category:辐射度学]]
[[Category:電磁輻射|R]]