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{{NoteTA|G1=物理學}}
{{量子力学}}
[[量子力學]]和[[量子场论]]的'''路徑積分表述'''（{{lang-en|'''path integral formulation'''或'''functional integral'''}}）是一個從[[經典力學]]裡的[[作用量|作用原則]]延伸出來對量子物理的一種概括和公式化的方法。它以包括两點間所有路徑的和或泛函積分而得到的[[量子幅]]來取代經典力學裡的單一路徑。

路径积分表述的基本思想可以追溯到[[諾伯特·維納]]，他介绍的[[维纳过程|维纳积分]]解决扩散和[[布朗运动]]的问题<ref name=Demichev>{{cite book |title=Path Integrals in Physics Volume 1: Stochastic Process & Quantum Mechanics |url=https://books.google.com/books?id=-XDP-8mrmQYC&pg=PA1 |chapter=Introduction |page=1ff. |isbn=0-7503-0801-X |year=2001 |publisher=Taylor & Francis |first1=Masud |last1=Chaichian |first2=Andrei Pavlovich |last2=Demichev |access-date=2016-10-21 |archive-date=2019-05-02 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190502065716/https://books.google.com/books?id=-XDP-8mrmQYC&pg=PA1 |dead-url=no }}</ref>。在1933年他的论文中，由[[保罗·狄拉克]]把这个基本思想被扩展到量子力学中的利用[[拉格朗日量|拉格朗日算符]]<ref>{{cite journal |last=Dirac |first=Paul A. M. |authorlink=Paul Dirac |year=1933 |title=The Lagrangian in Quantum Mechanics |journal=Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion |volume=3 |pages=64–72 |url=http://www.hep.anl.gov/czachos/soysoy/Dirac33.pdf |access-date=2016-10-21 |archive-date=2017-01-14 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170114120415/http://www.hep.anl.gov/czachos/soysoy/Dirac33.pdf |dead-url=no }}</ref><ref>{{cite journal|title=The correspondence principle in the statistical interpretation of quantum mechanics |last=Van Vleck |first=John H. | journal=Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America|volume=14| issue=2 | pages=178–188|year=1928|doi=10.1073/pnas.14.2.178 | pmid=16577107 | pmc=1085402 | bibcode=1928PNAS...14..178V }}</ref> 。路徑積分表述的完整方法，由理論物理學家[[理查德·費曼]]在1948年發展出來，但較早時，費曼已在[[约翰·惠勒]]指导的博士论文中，摸索出初步結果。

因爲路徑積分的表述法顯然地把時間和空間同等處理，它成為以後[[理論物理學]]發展的重要工具。

路徑積分表述也把量子現像和随機現像联系起來，為1970年代[[量子場論]]和概括[[二級相變]]附近[[序參數]]波動的[[統計場論]]統一奠下基礎。[[薛定諤方程式]]是[[虛數|虛]]擴散系數的[[擴散方程]]，而路徑積分表述是把所有可能的[[隨機漫步|随機移動]]路徑加起來的方法的[[解析延拓]]。因此路徑積分表述在應用於量子力學前，已經應用在[[布朗運動]]和[[擴散]]問題上。

[[File:Three paths from A to B.png|thumbnail|250px|在时间{{math|''t''<sub>0</sub>}}，粒子从点A出發，則在时间{{math|''t''<sub>1</sub>}}，可能出現在点B。圖中的三條路徑，皆對此[[量子幅]]有貢獻。（也有許多其他路徑。）]]

==數學方法==
===哈密頓算符在量子力學中的意義===
量子力學中，[[哈密頓算符]]<math>H</math>生成[[時間演化算符]]<math>U(t_b,t_a)</math>：
:<math>U(t_b,t_a)=e^{-\frac{i}{\hbar}(t_b-t_a)H}.</math>
一個量子粒子在時刻<math>t_a</math>到<math>t_b</math>間從位置<math>x_a</math>運動到<math>x_b</math>的量子概率幅是：
:<math>iG(x_b,t_b;x_a,t_a)\equiv \left\langle x_b \right| U(t_b,t_a) \left| x_a \right\rangle.</math>
因爲<math>U(t_b,t_a)</math>是很複雜的算符函數，直接用以上定義計算<math>iG(x_b,t_b;x_a,t_a)</math>非常困難。

時間演化算符符合
:<math>U(t_b,t_a)=U(t_b,t)U(t,t_a),</math>
因此量子幅符合
:<math>iG(x_b,t_b;x_a,t_a) = \int dx \ i G(x_b,t_b; x, t) iG(x, t; x_a,t_a)</math>。
右式被積項的意義為從<math>(t_a,x_a)</math>出發，在中途時刻<math>t</math>先穿過位置<math>x</math>，再到達<math>(t_b,x_b)</math>的路徑的總量子幅，此量子幅是两段路徑量子幅的積；而左式從<math>(t_a,x_a)</math>到<math>(t_b,x_b)</math>的量子幅，等於右式所有這種路徑的和（積分）。

===時間切片===
假設粒子在時刻<math>t_a</math>到<math>t_b</math>間從位置<math>x_a</math>運動到<math>x_b</math>。那可以把之間的時間平均分割成個別的時間區間：<math>t_a = t_0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_{n-1} < t_{n} = t_b</math>。每一段的時間是<math>\Delta = \frac{t_b-t_a}{n}</math>。
在時刻<math>t_{j-1}</math>和<math>t_{j}</math>間粒子的量子幅是：
:<math>\begin{align}
\left\langle x_{j} \left| e^{-i\frac{\Delta}{\hbar} H(\hat{p},\hat{x})} \right| x_{j-1} \right\rangle
&= \int d p_{j} \langle x_{j} | p_{j} \rangle \left\langle p_{j} \left| e^{-i\frac{\Delta}{\hbar} H(\hat{p},\hat{x})} \right| x_{j-1} \right\rangle
\end{align}</math>
因為<math>\hat{p}</math>和<math>\hat{x}</math>是互不交换的算符，所以必須運用它們的[[交换子]]關係：<math>[\hat{p},\hat{x}]=i\hbar</math>把<math>H(\hat{p},\hat{x})</math>修成所有的<math>\hat{p}</math>在<math>\hat{x}</math>左方的正常順序：
:<math>e^{-i\frac{\Delta}{\hbar} H(\hat{p},\hat{x})} = :e^{-i\frac{\Delta}{\hbar} H(\hat{p},\hat{x})}: + O(\Delta^2)</math>
做時間切片的作用是：當取切片數趨向無限大的极限時（<math>\Delta\rightarrow 0</math>），原本非正常順序的哈密頓算符可以以正常順序版代替。在正常順序算符下，<math>\hat{p}</math>和<math>\hat{x}</math>從算符簡化成普通[[复数 (数学)|複數]]。
因此
:<math>\begin{align}\left\langle x_{j} \left| e^{-i\frac{\Delta}{\hbar} H(\hat{p},\hat{x})} \right| x_{j-1} \right\rangle
&= \int \frac{d p_{j}}{2\pi\hbar} e^{i \frac{p_j}{\hbar} (x_j-x_{j-1})} \, e^{-i\frac{\Delta}{\hbar} H(p_j,x_{j-1})}\\
&= \int \frac{d p_{j}}{2\pi\hbar} e^{i \frac{\Delta}{\hbar} \left( p_j \frac{x_j-x_{j-1}}{\Delta} - H(p_j,x_{j-1}) \right)} \\
\end{align}</math>

把所有連接<math>(t_a,x_a)</math>和<math>(t_b,x_b)</math>的路徑相加得到的總量子幅是：
:<math>\begin{align}
i G(x_b,t_b; x_a, t_a) &= \int dx_1\cdots dx_{n-1} \prod_{i=1}^{n-1} dp_i
\exp\left[\frac{i}{\hbar} \sum_{j=1}^{n-1} \Delta\, L \left(t_j, \frac{x_{j}+x_{j-1}}{2},\frac{x_{j}-x_{j-1}}{\Delta} \right) \right] \\
&= \int \mathcal{D}\left[ x(t) \right] e^{\frac{i}{\hbar} S[x(t)]},
\end{align}</math>
其中<math>S</math>是路徑<math>x(t)</math>的作用量，拉格朗日量<math>L(t,x,\dot{x})</math>的時間積分：
:<math>S=\int L(t, x, \dot{x}) dt.</math>

==简單例子==
===自由粒子===
自由粒子的作用量（<math>m=1</math>，<math>\hbar=1</math>）為：
:<math>S = \int \frac{\dot{x}^2}{2} dt,</math>
可以插入路徑積分裡做直接計算。

暫時把指數函數内i去掉可容許比較簡易的理解計算，以後可以用[[威克轉動]]回到原式。去掉<math>i</math>後，有：
:<math>G(x-y;T) = \int_{x(0)=x}^{x(T)=y} e^{-\int_0^T \frac{\dot{x}^2}{2} dt} \mathcal{D}x
= \int_{x(0)=x}^{x(T)=y} \prod_{t} e^{-\frac{1}{2} \left( \frac{(x(t+\epsilon)-x(t)}{\epsilon} \right)^2 \epsilon} \mathcal{D}x,</math>
其中<math>\mathcal{D}x</math>是以上時間切成有限片的積分。連乘裡，每一項都是平均值為<math>x(t)</math>，[[方差]]為<math>\epsilon</math>的[[高斯函數]]。故多重積分是相鄰時間高斯函數<math>G_\epsilon</math>的卷積：
:<math>G(x-y;T) = G_\epsilon * G_\epsilon * G_\epsilon * \cdots * G_\epsilon (x-y).</math>
這裡面共包含<math>T/\epsilon</math>個卷積。[[傅里葉變換]]下，卷積變成普通乘積：
:<math>\tilde{G}(p; T) = \tilde{G}_\epsilon(p)^{T/\epsilon}.</math>
而高斯函數的傅里葉變換也是一個高斯函數：
:<math>\tilde{G}_\epsilon(p)=e^{-\epsilon \frac{p^2}{2}},</math>
因此
:<math>\tilde{G}(p; T) = e^{-T \frac{p^2}{2}}.</math>
反傅里葉變換可以得到實空間量子幅：
:<math>G(x-y; T) \propto e^{-\frac{(x-y)^2}{2T}}.</math>
時間切片方法原則上不能决定以上比例系數，但以随機運動概率來理解，可得到以下正規条件：
:<math>\int G(x-y; T) dy = 1,</math>
從這條件可得到擴散方程：
:<math>\frac{d}{dt} G(x;t) = \frac{\nabla^2}{2} G.</math>

回到振盪軌道，即恢復分子裡的原本的<math>i</math>。這可同樣得到一系列高斯函數的卷積。但這些高斯積分是嚴重振盪積分而要小心計算。一個普遍方法是讓時間片<math>\epsilon</math>帶一個小虚部。這等同於以威克轉動在實時間和虚時間間轉换。在這些處理下，可得到傳播核：
:<math>G(x-y; T) \propto e^{\frac{i(x-y)^2}{2T}}.</math>
運用和之前一樣的正規條件，重新得到自由粒子的薛定諤方程式：
:<math>\frac{d}{dt} G(x;t) = \frac{i\nabla^2}{2} G.</math>
這意味著任何<math>G</math>的綫性組合也符合薛定諤方程式，包括以下定義的波函數：
:<math>\varphi_t(x) = \int \varphi_0(y) G(x-y; t) dy,</math>
和<math>G</math>一樣服從薛定諤方程式：
:<math>i\frac{d}{dt}\varphi_t = -\frac{\nabla^2}{2} \varphi_t (x).</math>

== 量子场论 ==
[[配分函数]]成为泛函积分：

<math>Z = \int D\phi \ \exp(iS(\phi))</math>

== 费米子路径积分 ==
{{Internal link helper/en|费米积分|Berezin integral}}、[[格拉斯曼數]]

==参看==
* [[费曼－卡茨公式]]
*[[配分函数]]
*[[泛函]]
*[[高斯积分]]

== 参考资料 ==
{{Reflist}}
{{-}}
{{Quantum mechanics topics}}
{{量子场论}}

{{DEFAULTSORT:P}} 
[[Category:量子力學詮釋]]
[[Category:量子力學]]
[[Category:量子场论]]