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{{Distinguish|超越數}}
{{Numbers}}
'''超限数'''是大于所有[[有限集合|有限]]数（但不必為[[绝对无限]]）的[[基数 (数学)|基数]]或[[序数]]，分別叫做'''超穷基数'''（{{lang-en|transfinite cardinal number}}）和'''超穷序数'''（{{lang-en|transfinite ordinal number}}）。术语「超限」（transfinite）是[[康托尔]]提出的，他希望避免词语[[无限集合|无限]]（infinite）和那些只不过不是有限（finite）的那些对象有关的某些暗含。當時其他的作者少有这些疑惑；现在被接受的用法是称超限基数或序数为无限的。但是术语「超限」仍在使用。

超穷序数可以確定超穷基数，並導出[[阿列夫数]]序列。

对于有限数，有两种方式考虑超限数，作为[[基数 (数学)|基数]]和作为[[序数]]。不像有限基数和序数，超限基数和超限序数定义了不同类别的数。
* 最小超限[[序数]]是[[序数|ω]]。
* 第一个超限[[基数 (数学)|基数]]是[[艾禮富數|aleph-0]] <math>\aleph_0</math>，[[整数]]的[[无限集合]]的[[势 (数学)|势]]。如果[[选择公理]]成立，下一个更高的[[基数 (数学)|基数]]是aleph-1 <math>\aleph_1</math>。如果不成立，则有很多不可比较于aleph-1并大于aleph-0的其他基数。但是在任何情况下，没有基数大于aleph-0并小于aleph-1。

[[连续统假设]]声称在aleph-0和连续统（[[实数]]的集合）的势之间没有中间基数：就是说，aleph-1是实数集合的势。已经在数学上证实了连续统假设不能被证明为真或假，由于[[哥德爾不完備定理|不完备性]]的影响。

某些作者，比如Suppes、Rubin使用术语超限基数来称呼[[戴德金无限集合]]的势，在可以不等于无限基数的上下文中；就是说在不假定[[可数选择公理]]成立的上下文中。给定这个定义，下列是等价的：
*<math>\mathbf{m}</math>是超限基数。就是说有一个戴德金无限集合''A''使得''A''的势是<math>\mathbf{m}</math>。
*<math>\mathbf{m}+1 = \mathbf{m}</math>。
*<math>\aleph_0 \leq \mathbf{m}</math>。
*有一个基数<math>\mathbf{n}</math>使得<math>\aleph_0 + \mathbf{n} = \mathbf{m}</math>。

==引用==
*O'Connor, J. J. and E. F. Robertson (1998) [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Cantor.html "Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor"] {{Wayback|url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Cantor.html |date=20060916095918 }}, ''[[MacTutor History of Mathematics archive]]''.
*[[Patrick Suppes]], "Axiomatic Set Theory", Dover, 1972, ISBN 0-486-61630-4
*Jean E. Rubin, "Set Theory for the Mathematician", Holden-Day (San Francisico, 1967)

==参见==
*[[阿列夫数]]
*[[ℶ 數]]
*[[基数 (数学)|基数]]
*{{tsl|en|inaccessible cardinal|不可及基数}}
*[[无穷小]]
*[[大基数]]
*[[极限序数]]
*{{tsl|en|Mahlo cardinal|Mahlo基数}}
*[[可测基数]]
*[[序数算术]]
*[[序数]]
*[[超限归纳法]]

{{大数}}

[[Category:基数|C]]
[[Category:序数|C]]
[[Category:无穷集合论基本概念|C]]