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'''超限归纳法'''（{{lang-en|Transfinite Induction}}）是[[数学归纳法]]向（大）[[良序集合]]比如[[基數 (數學)|基數]]或[[序数]]的集合的扩展。

== 超限归纳 ==

假设只要对于所有的<math>\beta<\alpha</math>，<math>P(\beta)</math>为真，则<math>P(\alpha)</math>也为真。那么超限归纳告诉我们<math>P</math>对于所有序数为真。

就是说，如果<math>P(\alpha)</math>为真只要<math>P(\beta)</math>对于所有<math>\beta<\alpha</math>为真，则<math>P(\alpha)</math>对于所有<math>\alpha</math>为真。或者更实用的说：若要证明所有序数<math>\alpha</math>都符合性质<math>P</math>，你可以假定它对于所有更小的<math>\beta<\alpha</math>已经是成立的。

通常证明被分为三种情况：

* '''零情况：''' 证明<math>P(0)</math>为真。

* '''后继情况：''' 证明对于任何[[后继序数]]<math>\beta +1</math>，  <math>P(\beta+1)</math>得出自<math>P(\beta)</math>（如果需要的话，也假定对于所有 <math>\alpha<\beta</math> 有<math>P(\alpha)</math>）。

* '''极限情况：''' 证明对于任何[[极限序数]]<math>\lambda</math>，<math>P(\lambda)</math>得出自 [<math>P(\alpha)</math>对于所有<math>\alpha<\lambda</math>]。

留意，以上三種情況(證明方法)都是相同的，只是所考虑的序数类型不同。正式來說不用分开考慮它们，但在实践時，因為它们的证明過程通常相差很大，所以需要分别表述。在一些情況下，「零情況」會被視為一種「極限情況」，因此可以使用極限序數來證明。

==超限递归==
'''超限递归'''是一種构造或定义某种對象的方法，它與超限归纳的概念密切相關。例如，可以定義以序數為下標的集合序列 ''A''<sub>α</sub> ，只要指定三个事項：
* <math>A_0</math>是什么
* 如何确定<math>A_{\alpha+1}</math>自<math>A_\alpha</math>（又或者是從<math>A_0</math>到<math>A_\alpha</math>的部分）
* 对于极限序数<math>\lambda</math>，如何确定<math>A_\lambda</math>自<math>A_\alpha</math>的对于<math>\alpha<\lambda</math>的序列。

更形式的说，我们陈述超限递归定理如下。给定函数类<math>\mathrm{G_1}</math>, <math>\mathrm{G_2}</math>, <math>\mathrm{G_3}</math>，存在一个唯一的超限序列<math>\mathrm{F}</math>带有<math>\mathrm{dom}(\mathrm{F})=Ord</math>（<math>Ord</math> 是所有序数的真类），使得
* <math>\mathrm{F}(0)=\mathrm{G_1}(\varnothing)</math>
* <math>\mathrm{F}(\alpha+1)=\mathrm{G_2}(\mathrm{F}(\alpha))</math>，对于所有 <math>\alpha \in Ord</math>
* <math>\mathrm{F}(\alpha)=\mathrm{G_3}(\mathrm{F}\upharpoonright \alpha)</math>，对于所有极限序數 <math>\alpha \neq 0</math>。這裡的<math>\mathrm{F}\upharpoonright \alpha</math>是指<math>\mathrm{F}</math>在 <math>\{\beta\in Ord: \beta<\alpha\}</math>上的限制。

注意我们要求<math>\mathrm{G_1}</math>, <math>\mathrm{G_2}</math>, <math>\mathrm{G_3}</math>的定义域足够广阔来使上述性质有意义。所以满足这些性质的序列的唯一性可以使用超限归纳证明。

更一般的说，你可以在任何[[良基关系]]<math>R</math>上通过超限递归定义對象。（<math>R</math>甚至不需要是集合；它可以是[[真类]]，只要它是[[二元关系|类似集合]]<!-- set-like -->的关系便可，也就是说：对于任何 <math>x</math>，使得<math>yRx</math>的所有<math>y</math>的搜集必定是集合。）

==同选择公理的联系 ==
有一个常见的误解是超限归纳法或超限递归法要求[[选择公理]]。其實超限归纳可以应用于任何良序集合。但是常见的情况是使用[[选择公理]]来良序排序一个集合，使其適用超限归纳法。

==参见==
*[[数学归纳法]]
*[[结构归纳法]]
*[[ε歸納法]]
*[[首個不可數序數]]

[[Category:集合论|C]]
[[Category:序数|C]]
[[Category:數學推理|C]]
[[Category:良基性|C]]
[[Category:递归]]
{{集合论}}