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'''超過剩數'''（{{lang|en|'''superabundant number'''}}，有時會簡稱'''SA'''）是指一[[正整數]]''n''，對於所有較小的正整數'''m'''，下式恆成立：

:<math>\frac{\sigma(m)}{m} < \frac{\sigma(n)}{n}</math>

其中σ為[[除數函數]]，是所有正因數（包括本身）的和。

頭幾個超過剩數為：
[[1]], [[2]], [[4]], [[6]], [[12]], [[24]], [[36]], [[48]], [[60]], [[120]], ... {{OEIS|id=A004394}}.

超過剩數是{{link-en|萊昂尼達斯·Alaoglu|Alaoglu}}及[[保羅·艾狄胥]]在1944年定義的<ref name="Leonidas"/>。不過早在1919年時[[拉馬努金]]就有30頁的論文《Highly Composite Numbers》有關此一主題，但當時沒有發表，最後在1997年的拉馬努金期刊（Ramanujan Journal） 1中出版（第119至153頁），此論文的第59段定義了廣義的[[高合成數]]，其中也包括了超過剩數。

== 性質 ==
Alaoglu及保羅·艾狄胥證明若''n''為超過剩數，則存在''i''及''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ..., ''a''<sub>''i''</sub>使得下式成立<ref name="Leonidas"/>：

:<math>n=\prod_{l=1}^i (p_l)^{a_l}</math>

其中''p''<sub>l</sub>為第''l''個質數，而且

:<math>a_1\geq a_2\geq\dotsb\geq a_i.</math>

換句話說，若''n''為超過剩數，''n''的因數分解的幂次會由前往後的遞減，因數分解越前面的質因數越小，但其幂次會越大。

事實上，除了n為4或36的特例外，''a''<sub>''i''</sub>（最大質因數的幂次）均為1。

超過剩數和[[高合成數]]之間有關，但不是所有的超過剩數都是高合成數。事實上只有 449個整數恰好超過剩數及高合成數。例如7560是高合成數，但不是超過剩數。Alaoglu及保羅·艾狄胥發現所有的超過剩數都是[[高過剩數]]，但不是所有的高過剩數都是超過剩數。也不是所有的超過剩數都是[[哈沙德數]]（可以被[[數字和]]整除的整數），第一個例外是第105個高過剩數149602080797769600，其數字和為81，但這個高過剩數無法被81整除。

超過剩數受人注意的另一原因是和[[黎曼猜想]]有關，根據[[羅賓定理]]，黎曼猜想等價於以下的式子：
:<math>\frac{\sigma(n)}{e^\gamma n\log\log n} < 1</math>
針對所有大於已知最大例外值的正整數''n''，而已知最大例外值為超過剩數5040，若存在另外一些較大的數使得黎曼猜想不成立，則這些反例的最小值一定是另一個超過剩數<ref name="Akbary"/>。

== 參考資料 ==
{{reflist|refs=
<ref name="Leonidas">
 {{citation |first1=Leonidas |last1=Alaoglu |first2=Paul |last2=Erdős 
  |author2-link=保羅·艾狄胥|year=1944
  |title=On highly composite and similar numbers|journal=Transactions of the American Mathematical Society
  |volume=56|issue=3|pages=448–469|doi=10.2307/1990319|publisher=American Mathematical Society|jstor=1990319
 }}.
</ref>
<ref name="Akbary">　
 {{citation |doi=10.4169/193009709X470128|first1=Amir|last1=Akbary|first2=Zachary|last2=Friggstad
  |title=Superabundant numbers and the Riemann hypothesis|journal=American Mathematical Monthly
  |volume=116|issue=3|year=2009|pages=273–275
 }}
</ref>
}}

== 外部連結 ==
* [http://mathworld.wolfram.com/SuperabundantNumber.html MathWorld: Superabundant number] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/SuperabundantNumber.html |date=20130511160235 }}

{{Divisor classes navbox}}



[[Category:除數函數]]
[[Category:整数数列|C]]