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在[[抽象代數]]中，一個域擴張 <math>L/K</math> 的'''超越次數'''是 <math>L</math> 中在 <math>K</math> 上[[代數獨立]]子集的極大[[基数 (数学)|基數]]。

==定義==
域擴張 <math>L/K</math> 的一組'''超越基'''是子集 <math>S \subset L</math>，使得 <math>S</math> 在 <math>K</math> 上代數獨立，而且 <math>L/K(S)</math> 是[[代數擴張]]。可證明超越基存在，而任兩組超越基的基數皆相同，由此可定義'''超越次數'''為超越基底的基數。

==例子==
* 域擴張是代數擴張的充要條件是其超越次數為零。
* [[有理函數]]域 <math>k(X_1, \ldots, X_n)</math> 對 <math>k</math> 的超越次數為 <math>n</math>。
* 對於[[代數簇]]的[[函數域]]，其超越次數等於代數簇的[[Krull維度|維度]]。
* <math>\mathbb{C}/\mathbb{Q}</math> 的超越次數是[[連續統假設|連續統]]；另一方面，<math>\mathbb{C}</math> [[代數封閉域|代數封閉]]，因此任何特徵為零的有限生成域都能嵌入 <math>\mathbb{C}</math>。

==與向量空間維度的類比==
域與[[向量空間]]有下述類比：[[代數獨立]]集對應到[[線性獨立]]集、超越基對應到基、超越次數對應到維度。證明基的基數唯一時，兩方面都用到基的「交換引理」。任意域上超越基的存在性依賴於[[選擇公理]]，向量空間的基底亦同。在[[模型論]]中，這兩者可以統一於[[預幾何]]的框架下。

==性質==
若 <math>L/K</math>、<math>M/L</math> 為域擴張，則 <math>M/K</math> 的超越次數為 <math>M/L</math> 與 <math>L/K</math> 的超越次數相加，此點可藉由取超越基的聯集證之。

[[Category:域論|C]]