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'''超越数论'''是一個研究[[数论]]的方支，以定性、定量的方法來研究[[超越數|超越数]]（無法表示成某個以[[有理数]]為[[系数]]的[[代数方程|多项式方程]]的解）。

== 超越 ==
代数基本定理告诉我们：如果有一个非常數、有理係數的[[多項式|多项式]]（或者等效地，通过去分母後，具有[[整数]]系数），那么该多项式将具有[[复数 (数学)|复数]][[根 (数学)|根]]。也就是说，对于任何非常数的有理系數多项式<math>P</math>，会有一个复数<math>\alpha</math>，使得<math>P(\alpha)=0</math>。超越理论关注反向的问题：给定一个复数<math>\alpha</math> ，是否存在有理係數多项式<math>P</math>，使得<math>P(\alpha)=0?</math>如果不存在这样的多项式，则稱该数为超越数。

更一般地，该理论处理数的[[代數獨立|代数独立性]]。一组数 {α<sub>1</sub>, α<sub>2</sub>, …, α<sub>''n''</sub>} 称为在[[域 (數學)|域]]''K''上代数独立的條件是，如果不存在系数取自K的非零多项式''P''使得''P''(α<sub>1</sub>, α<sub>2</sub>, …, α<sub>''n''</sub>) = 0。所以判定一个给定的数是否是超越数，实际上是代数独立的一个特例，其中''n''&nbsp;=&#x2009;1，域''K''是[[有理数]]域。

一个相关的概念是数是否存在[[解析解|封闭形式的表达式]]，包括指数和对数以及代数运算。“封闭形式”有多种定义，关于封闭形式的问题往往可以简化为关于超越的问题。

== 歷史 ==

=== 有理数逼近：劉維爾到羅特 ===

以'''超越'''来這術語來指稱非代数的对象可以追溯到 17 世纪，当时[[戈特弗里德·莱布尼茨]]证明了[[正弦|正弦函数]]不是[[代數函數|代数函数]]。<ref>N. Bourbaki, ''Elements of the History of Mathematics'' Springer (1994).</ref>某些类别的数是否可以是超越数的问题可以追溯到1748年<ref>{{Harvnb|Gelfond|1960}}.</ref>，当时[[萊昂哈德·歐拉|欧拉]]断言<ref>{{Cite book|first=L.|last=Euler|title=Introductio in analysin infinitorum|url=https://archive.org/details/bub_gb_jQ1bAAAAQAAJ|location=Lausanne|year=1748}}</ref>：若<math>a, b</math>為[[有理數]]，且不存在某個有理數<math>c</math>使<math>b = a^c</math>，則數 log<sub>''a''</sub>''b'' 不是[[代數數]]。

欧拉的断言直到20世纪才得到证实，但此前，在他的断言将近一百年后，[[约瑟夫·刘维尔]]證實了非代数数的存在，而在此之前人们还不确定这一点。他在1840年代关于这个问题的原始论文概述了使用[[连分数]]构建超越数的论证。后来，在1850年代，他给出了一個數是代數數的[[充分必要条件|必要条件]]，从而给出了一个数是超越的充分条件。<ref>{{Cite journal|title=Sur les classes très étendues de quantités dont la valeur n'est ni algébrique ni même réductible à des irrationelles algébriques|last=Liouville|first=J.|journal=Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris|year=1844|volume=18|pages=[http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k2977n/f883.image 883–885], [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k2977n/f910.image 910–911]}}; ''Journal Math. Pures et Appl.'' '''16''', (1851), pp.133–142.</ref>这个標準卻未能說明超越的必要條件，而且它确实没有检测到数[[E (数学常数)|''e'']]是超越的。但他的工作确实提供了更多的超越数，现在以他的名义稱為[[刘维尔数]]。

劉維爾判定本质上是说，'''代数数不能很好地被有理数近似'''。因此，如果一个数可以很好地被有理数近似，那么它一定是超越的。劉維爾著作中“非常接近”的确切含义与某个指数有关。他证明了如果 α 是 ''d'' (≥2）次[[代數數|代数数]]，且 ε 是任何大于零的数，则表达式
: <math>\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|<\frac{1}{q^{d+\varepsilon}}</math>

只能由有限个有理数 ''p''/''q'' 来满足。将此作为超越的标准并非易事，因为必须對每个d (≥2）檢查是否有无穷多个解 ''p''/''q''。

20世纪，在[[阿克塞尔·图厄]]<ref>{{Cite journal|title=Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen|last=Thue|first=A.|journal=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik|J. Reine Angew. Math.]]|issue=135|doi=10.1515/crll.1909.135.284|year=1909|volume=1909|pages=284–305}}</ref>、[[卡尔·西格尔]]<ref>{{Cite journal|title=Approximation algebraischer Zahlen|url=https://zenodo.org/record/1538156|last=Siegel|first=C. L.|journal=[[Mathematische Zeitschrift|Math. Z.]]|issue=3–4|doi=10.1007/BF01211608|year=1921|volume=10|pages=172–213|access-date=2021-10-30|archive-date=2021-11-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20211104032238/https://zenodo.org/record/1538156|dead-url=no}}</ref>和[[克勞斯·羅特]]<ref>{{Cite journal|title=Rational approximations to algebraic numbers|last=Roth|first=K. F.|journal=Mathematika|issue=1|doi=10.1112/S0025579300000644|year=1955|volume=2|pages=1–20}} And "Corrigendum", p. 168, {{Doi|10.1112/S002559300000826}}.</ref>的努力下，劉維爾的成果中的指数从''d''&nbsp;+&nbsp;ε 改進到''d'' /2&nbsp;+&nbsp;1&nbsp;+&nbsp;ε，最后在1955年变为 2&nbsp;+&nbsp;ε。这个结果，被称为{{le|圖厄－西格爾－羅特定理|Thue–Siegel–Roth theorem}}，表面上是最好的可能，因为如果指数 2&nbsp;+&nbsp;ε 仅替换为 2，则结果不再正确。然而，[[塞尔日·兰]]推测羅特的结果可以有所改善；特别是他推测右手边分母中的 ''q'' <sup>2+ε</sup> 可以简化为<math>q^{2}{\log (q)}^{1+ \epsilon}</math> 。

羅特的工作有效地將由劉維爾开始的工作收尾，他的定理使数学家能够证明更多数字的超越性，例如[[錢珀瑙恩數]]。然而，该定理仍然不够强大，无法检测所有超越数，而且许多著名的常数（包括 ''e'' 和 π）都不能很好地以上述方法來近似。<ref>{{Cite journal|title=On the approximation of π|last=Mahler|first=K.|journal=Proc. Akad. Wetensch. Ser. A|year=1953|volume=56|pages=30–42}}</ref>

=== 辅助函數：埃爾米特到貝克 ===
:{{main|輔助函數}}
幸运的是，在19世纪开创了其他方法来处理 ''e'' 的代数性质，从而通過[[歐拉恆等式]]來處理 π 的代数性质。这项工作集中在使用所谓的[[輔助函數]]。这些[[函数]]通常在所考虑的点处具有许多[[零點]]。这里的“许多零點”有可能是指许多不同的零點，或者至少一个零點但具有高[[重複度|多重性]]，甚至许多零點都都具有高多重性。1873年，[[夏爾·埃爾米特]]對于每个[[自然数]]<math>k</math>，使用了近似函数 <math>e^{kx}</math> 的辅助，藉此证明了 <math>e</math> 是超越數。<ref>{{Cite journal|title=Sur la fonction exponentielle|last=Hermite|first=C.|journal=C. R. Acad. Sci. Paris|year=1873|volume=77}}</ref>在1880年代，[[费迪南德·冯·林德曼]]<ref>{{Cite journal|title=Ueber die Zahl π|url=https://zenodo.org/record/1428234|last=Lindemann|first=F.|journal=[[Mathematische Annalen]]|issue=2|doi=10.1007/BF01446522|year=1882|volume=20|pages=213–225|access-date=2021-10-30|archive-date=2021-10-30|archive-url=https://web.archive.org/web/20211030132506/https://zenodo.org/record/1428234|dead-url=no}}</ref>建立了他的工作，证明了对于非零代数数 α ，<math>e^{\alpha}</math>是超越的。特别地，这同時证明了 π 是超越的，因为 ''e''<sup>π''i''</sup> 是代数的，因此否定了[[化圓為方]]的可能。[[卡尔·魏尔施特拉斯]]进一步擴展了他们的工作，并最终在1885年證明了[[林德曼-魏尔斯特拉斯定理]]<ref>{{Cite journal|title=Zu Hrn. Lindemann's Abhandlung: 'Über die Ludolph'sche Zahl'|last=Weierstrass|first=K.|journal=Sitzungber. Königl. Preuss. Akad. Wissensch. Zu Berlin|year=1885|volume=2|pages=1067–1086}}</ref>。

1900年，[[大卫·希尔伯特|大卫·希尔伯特]]提出了他著名的[[希尔伯特的23个问题|問題集]]。其中的[[希爾伯特第七問題|第七]]个，也是希尔伯特估计最困難的問題中的一个，询问了 ''a <sup>b</sup>'' 形式的数字的超越性，其中 ''a'' 和 ''b'' 是代數數，''a'' 不是0或1，而''b''是[[無理數|无理数]]。在1930年代，[[亞歷山大·格爾豐德]]<ref>{{Cite journal|title=Sur le septième Problème de D. Hilbert|last=Gelfond|first=A. O.|journal=Izv. Akad. Nauk SSSR|year=1934|volume=7|pages=623–630}}</ref>和[[西奧多·施耐德|西奧多·施奈德]]<ref>{{Cite journal|title=Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen. I. Transzendend von Potenzen|last=Schneider|first=T.|journal=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik|J. Reine Angew. Math.]]|issue=172|doi=10.1515/crll.1935.172.65|year=1935|volume=1935|pages=65–69}}</ref>使用非显式辅助函数证明了所有的这些数字确实都是超越的，该辅助函数的存在是由Siegel引理所給出的。这个结果，即[[格尔丰德-施奈德定理]]，證明了如 ''[[E的π次方|e]]''<sup>[[E的π次方|π]]</sup> 和[[2的√2次方|Gelfond-Schneider 常数]]等数的超越性。

该领域的下一个重大突破发生在1960年代，当时[[艾倫·貝克 (數學家)|艾倫·貝克]]在由格尔丰德所提出的基於對數線形式的問題上取得了进展。格尔丰德本人设法找到了下式的非平凡下界：

: <math>|\beta_1\log\alpha_1 +\beta_2\log\alpha_2|\,</math>

其中所有四个未知数都是代数的，兩個 α 既不是0也不是1，兩個 β 都是无理数。不过，格尔丰德未能找到三个或更多对数之和的类似下限。贝克定理的证明就包含了这样的界限，在这个过程中解決了第一類的高斯类数问题。这项成果因其在解决[[丟番圖方程]]方面的用途讓貝克獲得了[[菲尔兹奖]]。从纯粹超越数论的观点来看，貝克已经证明，如果 α<sub>1</sub>, ..., α<sub>''n''</sub>  是代数数，它们都不为0或1，并且 β<sub>1</sub>, ..., β<sub>''n''</sub> 是代数数，使得 1， β<sub>1</sub>, ..., β<sub>''n''</sub> 在有理数上[[線性無關|线性无关]]，那么数

: <math>\alpha_1^{\beta_1}\alpha_2^{\beta_2}\cdots\alpha_n^{\beta_n}</math>

是超越的。<ref>A. Baker, ''Linear forms in the logarithms of algebraic numbers. I, II, III'', Mathematika '''13''' ,(1966), pp.204–216; ibid. '''14''', (1967), pp.102–107; ibid. '''14''', (1967), pp.220–228, {{MathSciNet|id=0220680}}</ref>

=== 其他技术：康托爾和 Zilber ===
1870 年代，[[格奥尔格·康托尔]]开始发展[[集合论|集合论]]，并于1874年发表論文证明代数数可以与[[自然数]]集[[双射|一一对应]]，因此超越数集必是[[不可數集|不可数]]。<ref>{{Cite journal|title=Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reelen algebraischen Zahlen|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=266194|last=Cantor|first=G.|journal=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik|J. Reine Angew. Math.]]|issue=77|doi=10.1515/crll.1874.77.258|year=1874|volume=1874|pages=258–262|language=de}}</ref>后来，在1891年，康托尔使用他更熟悉的[[對角論證法|对角线论证]]来证明相同的结果。<ref>{{Cite journal|title=Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002113910|last=Cantor|first=G.|journal=Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung|year=1891|volume=1|pages=75–78|language=de|access-date=2021-10-30|archive-date=2021-05-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20210507044718/http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002113910|dead-url=no}}</ref>虽然康托尔的结果经常稱为纯粹的[[存在性證明]]，因此不能用于构造单个超越数，<ref>{{Cite book|first=M.|last=Kac|first2=U.|last2=Stanislaw|title=Mathematics and Logic|url=https://archive.org/details/mathematicslogic0000kacm|publisher=Fredering A. Praeger|year=1968|page=[https://archive.org/details/mathematicslogic0000kacm/page/13 13]}}</ref> <ref>{{Cite book|first=E. T.|last=Bell|title=Men of Mathematics|location=New York|publisher=Simon & Schuster|year=1937|page=[https://archive.org/details/menofmathematics0041bell/page/569 569]}}</ref>上述两篇论文中的证明都给出了构造超越数的方法。<ref>{{Cite journal|title=Georg Cantor and Transcendental Numbers|url=http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Gray819-832.pdf|last=Gray|first=R.|journal=[[American Mathematical Monthly|Amer. Math. Monthly]]|issue=9|doi=10.1080/00029890.1994.11997035|year=1994|volume=101|pages=819–832|jstor=2975129|access-date=2021-10-30|archive-date=2022-01-21|archive-url=https://web.archive.org/web/20220121155859/https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Gray819-832.pdf|dead-url=no}}</ref>

虽然康托尔使用集合论来证明超越数的丰富性，但最近的发展是使用[[模型论]]来试图证明超越数论中未解决的问题。问题是确定域 ''K'' 的[[超越次數|超越度]]

: <math>K=\mathbb{Q}(x_1,\ldots,x_n,e^{x_1},\ldots,e^{x_n})</math>

对于在有理数上线性无关的复数''x''<sub>1</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>''，Stephen Schanuel推测答案至少为''n''，但並無證明。不过，在2004年，鲍里斯·齐伯（Boris Zilber）发表了一篇论文，该论文使用模型论技术创建了一个[[结构 (数理逻辑)|结构]]，该结构的行为与配备加法、乘法和幂运算[[复数 (数学)|复数]]的复数非常相似。而且，在这个抽象结构中，Schanuel的猜想确实成立。<ref>{{Cite journal|title=Pseudo-exponentiation on algebraically closed fields of characteristic zero|last=Zilber|first=B.|journal=Annals of Pure and Applied Logic|issue=1|doi=10.1016/j.apal.2004.07.001|year=2005|volume=132|pages=67–95|mr=2102856}}</ref>不幸的是，目前还不知道这种结构实际上与具有上述操作的复数相同；可能存在一些其他抽象结构，其行为与复数非常相似，但 Schanuel 的猜想不成立。 Zilber 确实提供了几个标准来证明所讨论的结构是'''C''' ，但无法证明所谓的强指数闭包公理。这个公理的最简单的情况已经被证明了， <ref>{{Cite journal|title=A remark on Zilber's pseudoexponentiation|url=https://semanticscholar.org/paper/a8952e3595096092391be824580fa03ca1b3fd7f|last=Marker|first=D.|journal=Journal of Symbolic Logic|issue=3|doi=10.2178/jsl/1154698577|year=2006|volume=71|pages=791–798|jstor=27588482|mr=2250821}}</ref>但是需要证明它最普遍的情況，才能完成猜想的证明。

== 方法 ==
这个数学领域的一个典型问题是判別一個给定的数是否是超越的。[[格奥尔格·康托尔|康托尔]]使用[[势 (数学)|基数]]论证来证明代數數是[[可數集|可數的]]，因此[[幾乎所有|几乎所有]]数都是超越数。因此，超越数反而是更普遍的；即便如此，要证明给定的数字是超越的（甚至只是无理数）可能极其困难。

出于这个原因，超越理论通常朝着更定量的方法工作。因此，给定一个特定的复数 α，人们可以询问 α 与代数数的接近程度。例如，如果假设数字 α 是代数的，那么是否可以证明它必须具有非常高的次数或系数非常大的[[最小多项式]]？最终，如果可以证明系数的有限度或大小是不充分的，那么该数字必须是超越的。由于数 α 是超越数当且仅当于每个具有整数系数的非零多项式''P''，''P''(α)&nbsp;≠&nbsp;0 。這問題可以通过尝试找到以下形式的下界来解决：

: <math> |P(a)| > F(A,d) </math>

其中右侧是一些正函数，取决于''P''[[系数]]大小的某个度量 ''A''及其度数''d'' ，并且这些下限适用于所有''P'' ≠ 0。这种界限称为'''超越测度'''。

''d''&nbsp;=&#x2009;1的情况，是“经典”的[[丟番圖逼近|丢番图近似]]，即要找

: <math>|ax + b|</math>

的下界。超越论和丢番图逼近的方法有很多共同点：它们都使用[[輔助函數]]概念。

== 主要成果 ==
[[格尔丰德-施奈德定理]]是1900－1950年间超越理论的主要进步。在20世纪60年代，[[艾倫·貝克 (數學家)|阿伦·贝克]]處理[[代數數]]对数的线性形式的方法，復興了超越理论，在众多经典问题和[[丟番圖方程|不定方程]]有應用。

== 马勒的分类 ==
库尔特马勒在 1932 年将超越数划分为 3 类，称为'''S''' 、 '''T'''和'''U''' 。 <ref name="Bug250">{{Harvnb|Bugeaud|2012}}.</ref>这些类的定义借鉴了[[刘维尔数]]（上文引用）的概念的扩展。

=== 实数無理程度的度量 ===
定义刘维尔数的一种方法是，考虑给定一個[[实数]]''x''的线性多项式 |''qx''&nbsp;−&nbsp;''p''| ，若其不為 0，則可以多小。这里 ''p'', ''q'' 是整数，其中 |''p''|, |''q''| 以正整数 ''H'' 為上界。

設 <math>m(x, 1, H)</math> 是这些多项式的最小非零绝对值：

: <math>\omega(x, 1, H) = -\frac{\log m(x, 1, H)}{\log H}</math>
: <math>\omega(x, 1) = \limsup_{H\to\infty}\, \omega(x,1,H).</math>

ω( ''x'' ,&nbsp;1) 通常称为实数''x''的'''无理測度'''。对于有理数，ω( ''x'' ,&nbsp;1) = 0，而对于无理实数則至少为 1。刘维尔数被定义为具有无限的無理測度。{{le|羅特定理|Roth's theorem}}说无理实代数数的无理测度为 1。

=== 复数超越的度量 ===
接下来考虑一個整係數、最少為 n 次，高度最多为''H'' 的多項式在复数 ''x'' 處的取值，其中''n''、''H''是正整数。

設<math>m(x, n, H)</math>是此类多项式在<math>x</math>處取的非零最小绝对值，並設

: <math>\omega(x, n, H) = -\frac{\log m(x, n, H)}{n\log H}</math>
: <math>\omega(x, n) = \limsup_{H\to\infty}\, \omega(x,n,H).</math>

假设对于某个最小正整数 ''n''，这是无限的。在这种情况下，复数''x'' 稱為 ''n'' 次的 '''U數'''。

现在我们可以定义

: <math>\omega (x) = \limsup_{n\to\infty}\, \omega(x,n).</math>

ω( ''x'' ) 通常称为''x''的'''超越測度'''。如果 ω( ''x'', ''n'' ) 是有界的，则 ω( ''x'' ) 是有限的，并且''x''称为'''S 数'''。如果 ω( ''x'', ''n'' ) 是有限但无界的，则''x''称为'''T 数'''。 ''X''&nbsp;是代数數当且仅当&nbsp;ω( ''x'' )&nbsp;=&nbsp;0.

显然，刘维尔数是 U 数的子集。William LeVeque在1953年构造了任何所需度数的 U 数。<ref name="LV172">{{Harvnb|LeVeque|2002}}.</ref>[[刘维尔数]]和 U 数是不可数集，但其[[測度]]為 0。 <ref name="#1">{{Harvnb|Burger|Tubbs|2004}}.</ref>

T 数組成的集合測度也為 0。<ref name="#1"/>大约用了35年时间才發現它们的存在。Wolfgang M. Schmidt在1968年表明存在这样的例子。另一方面，[[幾乎所有|几乎所有]]的复数都是 S 数。<ref name="Bug251">{{Harvnb|Bugeaud|2012}}.</ref>Mahler证明了指数函数将所有非零代数数发送到 S 数：<ref>{{Harvnb|LeVeque|2002}}.</ref> <ref name="#1"/>这表明 ''e'' 是 S 数并證明了 {{Pi}} 的超越性。已知{{Pi}}这个数不是 U 数。 <ref>Baker 1990, p. 86</ref>许多其他超越数仍未分类。

两个数''X，Y''称为'''代数相關'''，意思是有二元的整系数多項式 ''P''，使得 ''P''(''x'',&nbsp;''y'')&nbsp;=&nbsp;0。有一个强有力的定理，即若两个复数代數相關，則必定属于同一个马勒类。<ref name="LV172">{{Harvnb|LeVeque|2002}}.</ref><ref>{{Harvnb|Burger|Tubbs}}.</ref>这允许构造新的超越数，例如刘维尔数与 ''e'' 或 {{Pi}} 之和。

符号 S 可能代表马勒的老师[[卡尔·西格尔]]的名字，T 和 U 只是接下来的两个字母。

=== Koksma 的等效分类 ===
1939 年，Jurjen Koksma提出了另一种基于代数数近似的分类方法。<ref name="Bug250">{{Harvnb|Bugeaud|2012}}.</ref> <ref name="Baker, p. 87">{{Harvnb|Baker|1975}}.</ref>

考虑一个复数''x''由阶数 ≤''n'' 和高度 ≤&#x2009;''H'' 的代数数逼近。令 α 是这个有限集的代数数，使得 | ''X''&nbsp;-&nbsp;α| 具有最小正值。定义 ω*( ''x'', ''H'', ''n'' ) 和 ω*( ''x'', ''n'' )：

: <math>|x-\alpha| = H^{-n\omega^*(x,H,n)-1}.</math>
: <math>\omega^*(x,n) = \limsup_{H\to\infty}\, \omega^*(x,n,H).</math>

如果對某個最小的正整数''n'' ，ω*( ''x'', ''n'' ) 是无限的，则''x''称为 n 次的 '''U*-數'''。

如果 ω*(''x'', ''n'') 有界且不收敛到 0，则''x''称为'''S* 数'''，

如果 ω*(''x'', ''n'') 收敛到&nbsp;0，則稱 x 為 '''A* 數'''。

如果 ω*(''x'', ''n'') 都是有限但无界的，则''x''称为 '''T* 數''' ，

Koksma 和 Mahler 的分类是等價的，因为它们将超越数划分为相同的类别。<ref name="Baker, p. 87">{{Harvnb|Baker|1975}}.</ref> ''A*''數會是代数数。<ref name="Bug251">{{Harvnb|Bugeaud|2012}}.</ref>

=== LeVeque 的構造 ===
設

: <math>\lambda= \tfrac{1}{3} + \sum_{k=1}^\infty 10^{-k!}.</math>

可以證明，λ（一個劉維爾數）的''n''次方根為''n''次的U數。 <ref>{{Harvnb|Baker|1990}}.</ref>

可以改进此构造，以得出不可数多個''n''次 U 数。设''Z''是由上述 λ 級數中，每隔一个 10 的幂组成的集合。 ''Z''的所有子集的集合是不可数的。从λ的級數中，删除''Z''的任何子集，就得到不可数多個不同的刘维爾數，其''n''次根是''n''次的U形數。

=== 类型 ===
序列{ω (''x'', ''n'' )}的[[上確界]]称为'''类型'''。几乎所有实数都是类型 1 的 S 数，这对于实数 S 数来说是最小的。几乎所有的复数都是 1/2 类型的 S 数，这也是最小的。以上有關「几乎所有数」的断言都是由马勒猜想，并在1965年由弗拉基米尔·斯普林德朱克（Vladimir Sprindzhuk）证明。 <ref name="Baker, p. 86">{{Harvnb|Baker|1975}}.</ref>

== 未解决的问题 ==
虽然 Gelfond-Schneider 定理证明了一大类数是超越的，但这个类仍然是可数的。许多著名的数学常数仍然不知道是超越的，在某些情况下甚至不知道它们是有理还是无理。部分列表可以在[[超越數|这里]]找到。

超越理论的一个主要问题是證明一组特定的数是代数独立的，而不仅仅是證明單一元素是超越的。所以虽然我们知道''e''和''π''是超越的，但这并不意味着''e''&nbsp;+&nbsp;''π''是超越的，也不代表两者的其他组合（除了''e''<sup>π</sup>，[[E的π次方|格尔丰常数]]，已知是超越的）是超越數。另一个主要问题是处理与指数函数无关的数字。超越理论的主要结果倾向于围绕以''e''為底的指數和对数函数，这意味着往往需要全新的方法来处理不能以此兩個函數來表示的數。

Schanuel 的猜想会在某种程度上解决这些问题中的第一个，因为它涉及代数独立性，并且确实会证实''e'' + ''π''是超越的。然而，它仍然围绕指数函数，因此不見得能处理诸如[[阿培里常数]]或[[歐拉-馬斯刻若尼常數]]這類的數。另一个极其困难的未解决问题是所谓的常数或恒等问题。 <ref>{{Cite journal|title=Some Undecidable Problems Involving Elementary Functions of a Real Variable|last=Richardson|first=D.|journal=Journal of Symbolic Logic|issue=4|doi=10.2307/2271358|year=1968|volume=33|pages=514–520|jstor=2271358|mr=0239976}}</ref>

== 参考 ==
{{reflist}}

== 延伸閱讀 ==

* [[艾倫·貝克 (數學家)|Alan Baker]] and Gisbert Wüstholz, ''Logarithmic Forms and Diophantine Geometry'', New Mathematical Monographs '''9''', Cambridge University Press, 2007, {{ISBN|978-0-521-88268-2}}
[[Category:解析数论]]
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