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{{Distinguish|超限數}}

{{NoteTA |G1=Math
|1=zh-hans:伽玛;zh-hk:伽傌;zh-tw:伽傌;
}}
{{Numbers}}
在[[數論]]中，'''超越數'''（{{lang-en|transcendental number}}）是指任何一個不是[[代數數]]的无理数。只要它不是任何一個有理係數[[代數方程]]的[[根 (数学)|根]]，它即是超越數。最著名的例子是[[自然對數]]底[[e (数学常数)|e]]以及圓周率[[圓周率|π]]。

[[幾乎所有]]的[[實數]]和[[复数 (数学)|複數]]都是超越數，這是因為[[代數數]]的[[集合 (数学)|集合]]是[[可數集]]，而實數和複數的集合是[[不可數集]]之故。

== 定義 ==
超越數是[[代數數]]的相反，也即是說若<math>x</math>是一個超越數，那麼對於任何[[整數]]<math>a_n, a_{n-1}, \ldots, a_0</math>都符合：

:<math>a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \ne 0</math>

（其中<math>a_n\neq 0</math>）

== 例子 ==
超越數的例子包括：
*[[錢珀瑙恩數]]
* [[刘维尔数]]：<math>\sum_{k=1}^\infty 10^{-k!} = 0.110001000000000000000001000\ldots</math><br />它是第一個確認為超越數的數，是於1844年[[约瑟夫·刘维尔|刘维尔]]發現的。
* 自然對數底<math>\boldsymbol{e}</math>（参见：[[E (数学常数)|e]]）。
* <math>\boldsymbol{e}^a</math> ，其中<math>a</math>是除0以外的代數數。
* <math>\boldsymbol{\pi}</math>（参见：[[圓周率]]）<br />[[林德曼-魏尔斯特拉斯定理]]，1882年，注：因<math>\pi \,</math>是超越數而證明[[尺規作圖]]中的“[[化圓為方]]”的不可實現性。
* <math>\boldsymbol{e^{\pi}}</math>（参见：[[e的π次方]]）
* <math>2^{\sqrt{2}}</math>（参见：[[2的√2次方]]）。<br />更一般地，若<math>a \,</math>為[[0|零]]和[[一]]以外的任何[[代數數]]及<math> b \,</math>為[[無理數|無理]][[代數數]]則<math>a^b \,</math>必為超越數。這就是[[格尔丰德-施奈德定理]]。
* <math>\sin 1 \,</math>（参见：[[正弦]]）
* <math>\ln a \,</math>（参见：[[自然对数]]），其中<math>a \,</math>為一不等于1的[[正數|正]][[有理數]]。
* <math>\mathbf{W}(a)\,</math>（参见：[[朗伯W函數]]），其中<math>a \,</math>為一[[正數|正]][[有理數]]。
* <math>\Gamma (\frac{1}{3}) \,</math> <math>\left(\approx 2.67894 \right) \,</math>，<math>\Gamma (\frac{1}{4}) \,</math> <math>\left(\approx 3.62561 \right) \,</math>及<math>\Gamma (\frac{1}{6}) \,</math> <math>\left(\approx 5.56632 \right) \,</math>（參見[[伽傌函數]]）。

所有超越數構成的集是一個[[不可數集]]，也就是說，幾乎所有的實數和複數都是超越數；儘管如此，現今發現的超越數極少，甚至连<math>\pi + e\,</math>是不是超越数也不知道，因為要證明一個數是超越數或代數數是十分困難的。

超越數的證明，給數學帶來了大的變革，解決了幾千年來數學上的難題——[[尺規作圖]]三大問題，即[[倍立方]]問題、[[三等分任意角]]問題和[[化圓為方]]問題。隨著超越數的發現，這三大問題被證明為不可能。

== 可能的超越數 ==
以下數仍待證明為超越數或代數數：
* 數 [[E (数学常数)|''e'']] 和<math>\pi</math>的大多數和、積、冪等等，例如<math>\pi + e</math>, <math>\pi - e</math>, <math>\pi e</math>, <math>\frac{\pi}{e}</math>, <math>\pi^{\pi}</math>, <math>e^e</math>, <math>\pi^e</math>, <math>\pi^{\sqrt{2}}</math>, <math>\pi^{\pi^2}</math>尚未得知是有理數、代數無理數或超越數。值得注意的例外是<math>\pi + e^\pi</math>, <math>\pi e^\pi</math>和 <math>e^{\pi\sqrt{n}}</math>（對於所有正整數 <math>n</math>）已被證明是超越數<ref>{{cite mathworld|urlname=IrrationalNumber|title=Irrational Number}}</ref><ref>{{Cite web |url=http://mr.crossref.org/iPage/?doi=10.1070%2FSM1996v187n09ABEH000158 |title=Modular functions and transcendence questions, Yu. V. Nesterenko, Sbornik: Mathematics(1996), 187(9):1319 |accessdate=2015-03-08 |archive-date=2015-04-02 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150402130104/http://mr.crossref.org/iPage/?doi=10.1070%2FSM1996v187n09ABEH000158 |dead-url=yes }}</ref>
* [[欧拉-马歇罗尼常数]]<math>\gamma</math>，尚未被證明是無理數
* [[卡塔兰常数]]，未被證明是無理數
* [[阿培里常数]]<math>\zeta(3)</math> ，是无理数
* [[黎曼ζ函數]]在其他奇整數的取值，<math>\zeta(5), \zeta(7), \ldots</math>（尚未被證明是無理數）
* [[費根鮑姆常數]]，<math>\delta</math>與<math>\alpha</math>，皆未证明是否为无理数
* [[米尔斯常数]]，未证明是否为无理数
* [[辛钦常数]]，未证明是否为无理数
* [[科普兰-埃尔德什常数]]，是无理数

[[猜想]]：
* {{Tsl|en|Schanuel's conjecture|Schanuel猜想}}
* {{Tsl|en|Four exponentials conjecture|四指数猜想}}

== 簡要地證明<math>e</math>是超越數 ==
第一個對[[e (数学常数)|自然對數底 ''e'']]是超越數的證明可以追溯到1873年。我們現在跟隨的是[[大卫·希尔伯特]]的策略。他給出了[[夏尔·埃尔米特]]的原始证明的简化。思路如下所示：

為尋找矛盾，假設<math>e</math>是代數數。那就存在一個有限的整係數集<math>c_0, c_1, \ldots, c_n</math>滿足下列等式：

:<math>c_{0}+c_{1}e+c_{2}e^{2}+\cdots+c_{n}e^{n}=0, \qquad c_0, c_n \neq 0.</math>

現在對於一個正整數<math>k</math>，我們定義如下的多項式：

:<math> f_k(x) = x^{k} \left [(x-1)\cdots(x-n) \right ]^{k+1},</math>

並在上述等式的兩端乘上

:<math>\int^{\infty}_{0} f_k e^{-x}\,dx,</math>

於是我們得到等式：

:<math>c_{0} \left (\int^{\infty}_{0} f_k e^{-x}\,dx\right )+ c_1e\left ( \int^{\infty}_{0}f_k e^{-x}\,dx\right )+\cdots+ c_{n}e^{n} \left (\int^{\infty}_{0}f_k e^{-x}\,dx\right ) = 0.</math>

該等式可以寫成這種形式

:<math>P+Q=0</math>

其中

:<math>P =c_{0}\left ( \int^{\infty}_{0}f_k e^{-x}\,dx\right )+ c_{1}e\left (\int^{\infty}_{1}f_k e^{-x}\,dx\right )+ c_{2}e^{2}\left (\int^{\infty}_{2}f_k e^{-x}\,dx\right ) +\cdots+ c_{n}e^{n}\left (\int^{\infty}_{n}f_k e^{-x}\,dx\right ) </math>
:<math>Q=c_{1}e\left (\int^{1}_{0} f_k e^{-x}\,dx\right )+c_{2}e^{2} \left (\int^{2}_{0} f_k e^{-x}\,dx\right )+\cdots+c_{n}e^{n}\left (\int^{n}_{0} f_k e^{-x}\,dx \right ) </math>

''' 引理 1.''' 對於恰當選擇的<math>k</math>， <math>\frac{P}{k!}</math> 是非零整數。

<blockquote>'''證明：''' ''P'' 的每一項都是整數乘以階乘的和，這可以從以下的關係式得出

:<math>\int^{\infty}_{0}x^{j}e^{-x}\,dx=j!</math>

對於任何正整數 ''j'' 成立（考慮[[Γ函数]]）。

它是非零的，因為對於每一個滿足 0< ''a'' ≤ ''n'' 的 ''a'' ，
:<math>c_{a}e^{a}\int^{\infty}_{a} f_k e^{-x}\,dx</math> 
中的被積函數均為 ''e<sup>−x</sup>'' 乘以一些項的和，在積分中用 ''x'' - ''a'' 替換 ''x'' 后， ''x'' 的最低冪次是 ''k''+1 。然後這就變成了具有以下形式的積分的和

:<math>\int^{\infty}_{0}x^{j}e^{-x}\,dx</math>

其中 ''k''+1 ≤ ''j'' ，而且它是一個能被 (''k''+1)! 整除的整數。在除以 ''k!'' 后，我們得到模 (''k''+1) 得 0 的數。

現在我們只須考慮''a''=0的項。我們有：

:<math>\int^{\infty}_{0} f_k e^{-x}\,dx = \int^{\infty}_{0} \left ([(-1)^{n}(n!)]^{k+1}e^{-x}x^k + \cdots \right ) dx</math>

於是

:<math>{\frac{1}{k!}}c_{0}\int^{\infty}_{0}  f_k e^{-x}\,dx = c_{0}[(-1)^{n}(n!)]^{k+1} \qquad \mod (k+1).</math>

通過選擇 ''k'' ，使得 ''k''+1 是大於 ''n'' 與 |''c''<sub>0</sub>| 的質數，我們可以得出 <math>\tfrac{P}{k!}</math> 模 (''k''+1) 為非零，從而該數為非零整數。</blockquote>

'''引理 2.''' 對於充分大的 ''k'' ， <math>\left|\tfrac{Q}{k!}\right|<1</math> 。

<blockquote> '''證明：''' 注意到
:<math>f_k e^{-x} = x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots(x-n)]^{k+1}e^{-x} = \left ([x(x-1)\cdots(x-n)]^k \right ) \left ((x-1)\cdots(x-n)e^{-x}\right )</math>

使用 <math>|x(x-1)\cdots(x-n)|</math> 和 <math>|(x-1)\cdots(x-n)e^{-x}|</math> 在[[區間]] [0,''n''] 的上限 G 和 H ，我們可以推出
:<math>|Q|<G^{k}H(|c_{1}|e+2|c_{2}|e^{2}+\cdots+n|c_{n}|e^{n})</math>

由於
:<math>\lim_{k\to\infty}\frac{G^k}{k!}=0</math> 
我們有
:<math>\lim_{k\to\infty}\frac{Q}{k!}=0</math>
這點足以完成對引理的證明。
</blockquote>

注意可以選擇滿足兩個引理的<math>k</math>，從而我們能得出矛盾。進而得以證明<math>e</math>的超越性。

== 馬勒的分類 ==
{{Tsl|en|Kurt Mahler|库尔特·马勒}}在1932年把超越數分為3類，分別叫做'''S數'''、'''T數'''和'''U數'''<ref name=Bug250>Bugeaud (2012) p.250</ref>。這些類別的定義利用了[[劉維爾數]]思想的擴充。

=== 實數的無理性度量 ===
一種定義劉維爾數的方式是考慮對於給定的實數<math>x</math>，可以使得一次多項式<math>\vert qx-p \vert</math>盡可能小但不精確地等於 0 。這裡的<math>p</math> , <math>q</math>是滿足<math>\vert p \vert</math>, <math>\vert q \vert</math>以正整數<math>H</math>為界的整數。

令<math>m(x,1,H)</math>為這些多項式所取的最小非零絕對值，並且令：

:<math>\omega(x, 1, H) = - \frac{\log m(x, 1, H)}{\log H}</math>
:<math>\omega(x, 1)= \limsup_{H\to\infty} \omega(x,1,H).</math>

<math>\omega(x, 1)</math>常稱為實數<math>x</math>的'''無理性度量'''（'''measure of irrationality'''）。對於有理數<math>\omega(x, 1)=0</math>，而且對無理數其值至少為1 。劉維爾數可以定義為具有無窮大的無理性度量的數。{{Tsl|en|Thue–Siegel–Roth theorem|Thue–Siegel–Roth定理}}表明了實代數無理數的無理性度量均為 1 。

=== 複數的超越性度量 ===
接下來考慮多項式對於複數<math>x</math>的取值，這些多項式係數為整數，次數至多為<math>n</math>，而且{{Tsl|en|Height of a polynomial|多項式的高|高}}至多為<math>H</math>，此處的<math>n</math>, <math>H</math>是正整數。

令<math>m(x,n,H)</math>為以<math>x</math>為變量的上述多項式所取的最小非零值，並且令：

:<math>\omega(x, n, H) = - \frac{\log m(x, n, H)}{n\log H}</math>
:<math>\omega(x, n)= \limsup_{H\to\infty} \omega(x,n,H).</math>

假如對於盡可能小的正整數<math>n</math>，<math>\omega(x,n)</math>為無窮大，則這種情況下複數<math>x</math>稱為<math>n</math>次的'''U數'''。

現在我們可以定義
:<math>\omega (x) =\limsup_{n\to\infty}\omega(x,n).</math> 

<math>\omega (x)</math>常稱為<math>x</math>的'''超越性度量'''（'''measure of transcendence'''）。假如<math>\omega(x,n)</math>有界，則<math>\omega (x)</math>有限，<math>x</math>稱為'''S數'''。如果<math>\omega(x,n)</math>有限而無界，則<math>x</math>稱為'''T數'''。<math>x</math>為代數數當且僅當<math>\omega (x)=0</math>。

顯然劉維爾數是U數的子集。{{Tsl|en|William J. LeVeque|威廉·勒维克}}在1953年構造了任意次數的U數<ref name="Baker, p. 86">Baker (1975) p. 86.</ref><ref name=LV172>LeVeque (2002) p.II:172</ref>。劉維爾數是不可數集，從而U數也是。它們的測度為 0 <ref>Burger and Tubbs, p. 170.</ref>。

T數組成的集合測度亦為 0 <ref>Burger and Tubbs, p. 172.</ref>。人們花了 35 年時間證明它們存在。{{Tsl|en|Wolfgang M. Schmidt|沃尔夫冈·M·施密特}}在 1968 年證明了T數的樣例存在。由是可知[[幾乎所有]]複數都是S數<ref name=Bug251>Bugeaud (2012) p.251</ref>。馬勒證明了當<math>x</math>為任意非零代數數時<math>e^x</math>均為S數<ref>LeVeque (2002) pp.II:174–186</ref><ref>Burger and Tubbs, p. 182.</ref>：這點揭示了<math>e</math>是S數且給出了<math>\pi</math>的超越性證明。對於<math>\pi</math>我們至多知道它不是U數。其他更多的超越數仍未歸類。

兩個數<math>x</math>, <math>y</math>稱為'''代數相關'''，當存在 2 個變量的整係數非零多項式<math>P</math>滿足<math>P(x,y)=0</math>。一個有力的定理指出，屬於相同馬勒分類的 2 個複數是代數相關的<ref name=LV172/><ref>Burger and Tubbs, p. 163.</ref>。這允許我們構造新形式的超越數，例如劉維爾數與<math>e</math>或<math>\pi</math>的和。

通常推測 S 代表馬勒的老師[[卡爾·西格爾]]（Carl Ludwig '''S'''iegel），而 T 和 U 是接下來的兩個字母。

=== Koksma 的等價分類 ===
{{Tsl|en|Jurjen Koksma|}} 在 1939 年提出了基於代數數逼近的另一種分類<ref name=Bug250/><ref name=Baker87>Baker (1975) p.87</ref>。

考慮用次數<math>\leq n</math>且高<math>\leq H</math>的代數數逼近複數<math>x</math>。令<math>\alpha</math>為該有限集中滿足<math>\vert x-\alpha \vert</math>取最小正值得代數數。定義<math>\omega^*(x,H,n)</math>和<math>\omega^*(x,n)</math>如下：

:<math>|x-\alpha| = H^{-n\omega^*(x,H,n)-1}.</math>
:<math>\omega^*(x,n) = \limsup_{H\to\infty} \omega^*(x,n,H).</math>

若對於最小的正整數<math>n</math>，<math>\omega^*(x,n)</math>為無窮大，則稱<math>x</math>為<math>n</math>次的'''U*數'''。

若<math>\omega^*(x,n)</math>有界且不收斂到 0 ，則則稱<math>x</math>為'''S*數'''，

一個數<math>x</math>被稱為 '''A*數''' ，當<math>\omega^*(x,n)</math>收斂到 0 。

若所有的<math>\omega^*(x,n)</math>均為有限但無界，則稱 ''x'' 為'''T*數'''，

Koksma和馬勒的分類是等價的，因為它們將超越數以同樣的方式分類<ref name=Baker87/>。''A*數''就是代數數<ref name=Bug251/>。

===勒維克的構造===

令

:<math>\lambda= \tfrac{1}{3} + \sum_{k=1}^\infty 10^{-k!}</math>

可以證明<math>\lambda</math>（劉維爾數）的<math>n</math>次方根是<math>n</math>次的U數<ref>Baker(1979), p. 90.</ref>。

此構造可以改進以建立<math>n</math>次U數的不可數個系列。令<math>Z</math>為上述<math>\lambda</math>的級數中 10 的冪次的集合。<math>Z</math>所有子集的集合是不可數的。在表示<math>\lambda</math>的級數中刪去任意一個<math>Z</math>的子集，將產生不可數個顯然的劉維爾數，它們每一個的<math>n</math>次方根都是次數為<math>n</math>的U數。

=== 類型 ===
數列<math>\{\omega(x,n)\}</math>的上界稱為'''類型'''（'''type'''）。幾乎所有實數都是類型為 1 的S數，此類型數在實S數中是最小的。幾乎所有複數都是類型為 1/2 的S數，此類型數在複S數中同樣是最小的。以上判斷對於幾乎所有數成立的猜想由馬勒提出，於 1965 年由 [[Vladimir Sprindzhuk]] 證明<ref name="Baker, p. 86"/>。

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

{{wikisource|de:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie/Kapitel 1|Über die Transzendenz der Zahlen e und π.}}

== 參見 ==
* [[多項式]]
* [[無理數]]
* [[代數數]]
* [[林德曼-魏尔斯特拉斯定理]]
{{數的系統}}
{{無理數導航}}
{{Authority control}}
[[Category:超越數| ]]