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{{NoteTA
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|G2=Physics
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[[數學|數學領域]]，'''超越函數'''與[[代數函數]]相反，是指那些不滿足任何以[[多項式]][[方程]]的[[函數]]，即函數不滿足以變量自身的多項式為係數的多項式方程。換句話說，超越函數就是「超出」代數函數範圍的函數，也就是說函數不能表示為自变量与常数之间有限次的加、減、乘、除和開方。

嚴格的說，關於變量<math>z</math>的[[解析函數]]<math>f(z)</math>是超越函數，如果該函數是關於變量<math>z</math>是[[代數獨立]]的。

[[對數]]和[[指數函數]]即為超越函數的例子，超越函數這個名詞通常被拿來描述[[三角函數]]，例如[[正弦]]、[[餘弦]]、[[正割]]、[[余割]]、[[正切]] 、[[余切]]等。

非超越函數稱為[[代數函數]]，代數函數的例子有[[多項式]]和[[平方根]]函數。

對代數函數進行[[不定積分]]運算能夠產生超越函數，如對數函數便是在對[[雙曲角]]圍成的面積研究中，對倒數函數<math>y=1/x</math>不定積分得到的，以此方式得到的[[雙曲函數]]<math>\sinh,\cosh,\tanh</math>等皆為超越函數。

[[微分代數]]的某些研究人員研究不定積分如何產生與某類「標準」函數代數獨立的函數，例如將三角函數與多項式的合成取不定積分。

== 因次分析 ==
在[[因次|因次分析]]裡，超越函數是非常有用的，因為它們只在其引數無因次時才有意義。因此，超越函數可以是因次錯誤的顯著來源。例如，<math>\log{(10\mbox{cm})}</math>是個毫無意義的表示式。<math>\log{(10\mbox{cm})}</math>不同於<math>\log{(5\mbox{cm}/3\mbox{cm})}</math>和<math>(\log{10})\mbox{cm}</math>，后兩者是有實際意義的。利用[[對數]]恒等式，將<math>\log{(10\mbox{cm})}</math>展開為<math>\log{10}+\log(1{\mbox{cm}})</math>能夠更清晰的說明該問題：一個有量綱的非代數運算會產生毫無意義的結果。

== 一些例子 ==
以下列出的函數都是超越函數：除了少數特殊的情況，對於一般的<math>x</math>不能通過有限次代數運算求出<math>f(x)</math>：

:<math>f_1(x)=x^\pi</math>
:<math>f_2(x)=c^x\quad\left(c\ne0,1\right)</math>
:<math>f_3(x)=x^x</math>
:<math>f_4(x)=x^{\frac{1}{x}}</math>
:<math>f_5(x)=\log_cx\quad\left(c\ne0,1\right)</math>

== 參閱 ==
* [[超越數]]
* [[解析函數]]
* [[複變函數]]
* [[廣義函數]]
* [[特殊函數]]

[[Category:微分代數]]
[[Category:函數類型]]
[[Category:代數|C]]
[[Category:函數|C]]