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'''超越三角函數'''是[[自然對數]]的一種延伸，也是[[歐拉公式]]的擴充，其中每個超越三角函數都違反原來對[[三角函數]]的定義。

==超越單位三角函數==
由[[李昂哈德·歐拉]]對[[复数 (数学)|複數]]的定義得知：
:<math> e^{ix} = \cos ( x ) + i\sin ( x ) \,</math>
當<math> x=ln(i),</math>時，得知：
:<math> i^{i}= \cos ln (i) + i\sin ln (i) \,</math>

:<math> i^{-i}= \cos ln (i) - i\sin ln (i) \,</math>
再因為
:<math> e^{i \pi} = -1 \,</math>
:=><math> e^{\frac{i\pi}{2}} = i \,</math>
:=><math> e^{\frac{\pi}{2}} = i^{-i} \,</math>
所以得出下列結論：
:<math> i^{i} = e^{\frac{-\pi}{2}} = \cos ln (i) + i\sin ln (i) \,</math>

:<math> i^{-i} = e^{\frac{\pi}{2}} = \cos ln (i) - i\sin ln (i) \,</math>
解聯立方程解得
:<math> cos [ln(i)] = \frac{exp(\frac{\pi}{2})+exp(\frac{-\pi}{2})}{2}</math>
:<math> sin [ln(i)] = {\frac{exp(\frac{\pi}{2})-exp(\frac{-\pi}{2})}{2}}i</math>
發現<math> cos ln (i) </math>明顯超越了1，這代表了斜邊比鄰邊還短，違反了當初對實數係的三角函數的定義域，所以這稱為對虛數係的三角函數

==超越三角函數==
延伸後可得：
:<math> cos [xln (i)] = \frac{exp(\frac{x\pi}{2})+exp(\frac{-x\pi}{2})}{2}</math>
:<math> sin [xln (i)] = {\frac{exp(\frac{x\pi}{2})-exp(\frac{-x\pi}{2})}{2}}i</math>

==複數悖論與數學單位形成==
將超越三角函數以三度空間方式作圖，X軸為自變數，Y軸為變數之實部，Z軸為變數之虛部，可以發現超越三角函數都是以4為一週期的函數圖形，但是最後會發現一件怪異之處
:<math> 2ni{\pi}=0</math>
這對一般數學是不成立的，但是為何有合理的解釋？
如果說一般數的單位是│µ│（單位向量），歐拉對虛數的冪可見
:<math> 2ni{\pi}=0</math>此單位是rad‧│µ│，如此2π等同於0的意思，那悖論也就被打破了。

{{math-stub}}
[[ar:لوغاريتم طبيعي]]
[[de:Logarithmus#Natürlicher Logarithmus und andere spezielle Logarithmen]]
[[no:Naturlige logaritmen]]

[[Category:函数]]